Question

已知（1+

1

2

x）ⁿ展開式的各項依次記為a₁（x），a₂（x），a₃（x）…a_n（x），a_n+1（x）．設(shè)F（x）=a₁（x）+2a₂（x）+2a₂（x）+3a₃（x）…+na_n（x）+（n+1）a_n+1（x）．
（1）若a₁（x），a₂（x），a₃（x）的系數(shù)依次成等差數(shù)列，求n的值；
（2）求證：對任意x₁，x₂∈[0，2]，恒有|F（x₁）-F（x₂）|≤2^n-1（n+2）-1．

Answer 1

分析：（1）由題意可得 a_k（x）=

C

k-1 n

•(

1

2

x)k-1，求得a₁（x），a₂（x），a₃（x）的系數(shù)，根據(jù)前三項的系數(shù)成等差數(shù)列求得n的值．
（2）由F（x）的解析式求得 F（2）═

C

0 n

+2

C

1 n

+3

C

2 n

+…+（n+1）

C

n n

，設(shè)S_n=

C

0 n

+2

C

1 n

+3

C

2 n

+…+（n+1）

C

n n

，利用二項式系數(shù)的性質(zhì)求得S_n=（n+2）•2^n-2．再利用導(dǎo)數(shù)可得F（x）在[0，2]上是增函數(shù)可得對任意x₁，x₂∈[0，2]，恒有|F（x₁）-F（x₂）|≤F（2）-F（0）=2^n-1（n+2）-1．

解答：解：（1）由題意可得 a_k（x）=

C

k-1 n

•(

1

2

x)k-1，k=1、2、3，…n+1，
故a₁（x），a₂（x），a₃（x）的系數(shù)依次為

C

0 n

=1，

C

1 n

•

1

2

=

n

2

，

C

2 n

(

1

2

)2=

n(n-1)

8

．
再由2×

n

2

=1+

n(n-1)

8

，解得 n=8．
（2）∵F（x）=a₁（x）+2a₂（x）+2a₂（x）+3a₃（x）…+na_n（x）+（n+1）a_n+1（x）
=

C

0 n

+2

C

1 n

•（

1

2

x）+3

C

2 n

•(

1

2

x)2+（n+1）

C

n n

•(

1

2

x)n，
∴F（2）=

C

0 n

+2

C

1 n

+3

C

2 n

+…+（n+1）

C

n n

．
設(shè)S_n=

C

0 n

+2

C

1 n

+3

C

2 n

+…+（n+1）

C

n n

，則有S_n=（n+1）

C

n n

+n

C

n-1 n

+…+3

C

2 n

+2

C

1 n

+

C

0 n

．
把以上2個式子相加，并利用

C

k n

=

C

n-k n

 可得 2S_n=（n+2）[

C

0 n

+

C

1 n

+

C

2 n

+…+

C

n n

]=（n+2）•2^n-1，
∴S_n=（n+2）•2^n-2．
當x∈[0，2]時，由于F′（x）＞0，∴F（x）在[0，2]上是增函數(shù)，故對任意x₁，x₂∈[0，2]，
恒有|F（x₁）-F（x₂）|≤F（2）-F（0）=2^n-1（n+2）-1，命題得證．

點評：本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)，二項式定理的應(yīng)用，二項式系數(shù)的性質(zhì)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)的
單調(diào)性求函數(shù)的值域，屬于中檔題．