Question

如圖，在四棱錐中，⊥底面，四邊形是直角梯形，⊥，∥， .

（Ⅰ）求證：平面⊥平面；

（Ⅱ）若二面角的余弦值為，求.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）詳見解析;（Ⅱ）

【解析】

試題分析：（Ⅰ）利用線面垂直得到線線垂直，利用線線垂直得到線面垂直，然后得到面面垂直；（Ⅱ）通過建立空間直角坐標系，得到相應點的坐標，計算平面的法向量，通過二面角的大小計算得到的值.

試題解析：（Ⅰ）∵PA⊥平面ABCD， BCÌ平面ABCD，

∴PA⊥BC，

又AB⊥BC，PA∩AB＝A，

∴BC⊥平面PAB，

∵BCÌ平面PBC，

 ∴平面PBC⊥平面PAB． 5分

（Ⅱ）以A為原點，AB為x軸、AP為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系A—xyz．

則B(2，0，0)，C(2，1，0)，D(1，1，0)．

設P(0，0，a)（a＞0），

則＝(0，1，0)，＝(2，1，－a)，

＝(1，0，0)                    8分

設n₁＝(x₁，y₁，z₁)為面BPC的一個法向量，

則n₁·＝n₁·＝0，

即

取x₁＝a，y₁＝0，z₁＝2，得n₁＝(a，0，2)．

同理，n₂＝(0，a，1)為面DPC的一個法向量．                 10分

依題意， |cosán₁，n₂ñ|＝＝＝，

解得a²＝2，或a²＝－7（舍去），所以＝．             12分      

考點：平面與平面垂直的判定，向量法求直線的值.