Question

（2011•黃岡模擬）已知{a_n}是正數(shù)組成的數(shù)列，a₁=1，且點(

an

，an+1)(n∈N*)在函數(shù)y=x²+1的圖象上．?dāng)?shù)列{b_n}滿足b₁=0，b_n+1=b_n+3^a_n（n∈N^*）．
（I）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（II）若c_n=a_nb_ncosnπ（n∈N^*），求數(shù)列{c_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題設(shè)條件知a_n+1=a_n+1，根據(jù)等差數(shù)列的定義：{a_n}是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，從而a_n=n，根據(jù)b_n+1=b_n+3^a_n（n∈N^*），可得b_n+1-b_n=3ⁿ（n∈N^*）．累加可求和，從而得{b_n}的通項公式；
 （II）根據(jù)c_n=a_nb_ncosnπ（n∈N^*），可得cn=

-n(3n-3)，n為奇數(shù) n(3n-3)，n為偶數(shù)

，再分n為偶數(shù)，奇數(shù)分別求和即可

解答：解：（Ⅰ）因為點（

an

，an+1）（n∈N*）在函數(shù)y=x²+1的圖象上
所以a_n+1=a_n+1
根據(jù)等差數(shù)列的定義：{a_n}是首項為1，公差為1的等差數(shù)列
所以a_n=n
∵b_n+1=b_n+3^a_n（n∈N^*）．
∴b_n+1-b_n=3ⁿ（n∈N^*）．
∴bn=3+32+…+3n-1=

1

2

×3n-

3

2

（II）∵c_n=a_nb_ncosnπ（n∈N^*），
∴cn=

-n(3n-3)，n為奇數(shù) n(3n-3)，n為偶數(shù)

當(dāng)n為偶數(shù)時，S_n=（-3+2•3²+…+n•3ⁿ）+3[1-2+3-4+…+（n-1）-n]
設(shè)T_n=（-3+2•3²+…+n•3ⁿ），則3T_n=-3²+2•3³+…+n•3ⁿ⁺¹
∴Tn=

1

16

[-3+(4n+1)•3n+1]
∴Sn=

(4n+1)•3n+1+24n+21

16

當(dāng)n為奇數(shù)時，Sn=Sn-1+cn=

-(4n+1)•3n+1+24n+21

16

∴Sn=

-(4n+1)•3n+1+24n+21 16 ，n為奇數(shù) (4n+1)•3n+1+24n+21 16 ，n為偶數(shù)

點評：本題以函數(shù)為載體，考查數(shù)列的概念和性質(zhì)及其應(yīng)用，，考查錯位相減法求和，解題時要注意公式的靈活運(yùn)用．