Question

對(duì)于給定的正整數(shù)n，則由直線y=n²與拋物線y=x²所圍成的封閉區(qū)域內(nèi)（包括邊界）的整點(diǎn)個(gè)數(shù)是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與解析幾何的綜合

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：直線y=n²與拋物線y=x²的交點(diǎn)A，B的坐標(biāo)為A（n，n²），B（-n，n²），設(shè)直線x=k上位于區(qū)域內(nèi)的線段的線段為CD，
其坐標(biāo)為C（k，n²），D（k，k²），線段CD上的整點(diǎn)數(shù)為n²-k²+1，k∈{-n，…，-1，0，1，2，…，n}，由此能求出區(qū)域內(nèi)的整點(diǎn)數(shù)．

解答： 解：如圖，直線y=n²與拋物線y=x²的交點(diǎn)A，B的坐標(biāo)為A（n，n²），B（-n，n²），
設(shè)直線x=k上位于區(qū)域內(nèi)的線段的線段為CD，
其坐標(biāo)為C（k，n²），D（k，k²），
線段CD上的整點(diǎn)數(shù)為n²-k²+1，k∈{-n，…，-1，0，1，2，…，n}，
故區(qū)域內(nèi)的整點(diǎn)數(shù)為：

n

k=-n

(n2-k2+1)=（2n+1）（n²+1）-2

n

k=1

k2
=

1

3

（2n+1）（2n²-n+3）．
故答案為：

1

3

（2n+1）（2n²-n+3）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查區(qū)域內(nèi)的整點(diǎn)數(shù)的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意數(shù)形結(jié)合思想的合理運(yùn)用．