如圖，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直， AB=，AF=1，M是線段EF的中點(diǎn).

（Ⅰ）求證AM∥平面BDE；

（Ⅱ）求二面角A—DF—B的大小；

（Ⅲ）求點(diǎn)B到平面CMN的距離.

 

答案：
解析：

解: (Ⅰ)記AC與BD的交點(diǎn)為O,連接OE,

∵O、M分別是AC、EF的中點(diǎn)，ACEF是矩形，

∴四邊形AOEM是平行四邊形，

∴AM∥OE.

∵平面BDE， 平面BDE，

∴AM∥平面BDE.

(Ⅱ)在平面AFD中過(guò)A作AS⊥DF于S，連結(jié)BS，

∵AB⊥AF， AB⊥AD，

∴AB⊥平面ADF，

∴AS是BS在平面ADF上的射影，

由三垂線定理得BS⊥DF.

∴∠BSA是二面角A—DF—B的平面角.

在RtΔASB中，

∴

∴二面角A—DF—B的大小為60º.

（Ⅲ）設(shè)CP=t（0≤t≤2）,作PQ⊥AB于Q，則PQ∥AD，

∵PQ⊥AB，PQ⊥AF，，

∴PQ⊥平面ABF，平面ABF，

∴PQ⊥QF.

在RtΔPQF中，∠FPQ=60º，

PF=2PQ.

∵ΔPAQ為等腰直角三角形，

∴

又∵ΔPAF為直角三角形，

∴，

∴

所以t=1或t=3(舍去)

即點(diǎn)P是AC的中點(diǎn).

 

 


練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=
2
，AF=1，M是線段EF的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證AM∥平面BDE；
（Ⅱ）求二面角A-DF-B的大�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，過(guò)正方形中心O的直線MN分別交正方形的邊AB，CD于M，N，則當(dāng)
MN
BN
最小時(shí)，CN=
5
-1
2
5
-1
2
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，已知正方形ABCD和梯形ACEF所在平面互相垂直，AB=2，AF=
2
，CE=2
2
，CE∥AF，AC⊥CE，
ME
=2
FM

（I）求證：CM∥平面BDF；
（II）求異面直線CM與FD所成角的余弦值的大��；
（III）求二面角A-DF-B的大小．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=
2
，AF=1．
（1）求二面角A-DF-B的大��；
（2）在線段AC上找一點(diǎn)P，使PF與AD所成的角為60°，試確定點(diǎn)P的位置．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2012•深圳二模）如圖，已知正方形ABCD在水平面上的正投影（投影線垂直于投影面）是四邊形A′B′C′D′，其中A與A'重合，且BB′＜DD′＜CC′．
（1）證明AD′∥平面BB′C′C，并指出四邊形AB′C′D′的形狀；
（2）如果四邊形中AB′C′D′中，AD′=
2
，AB′=
5
，正方形的邊長(zhǎng)為
6
，求平面ABCD與平面AB′C′D′所成的銳二面角θ的余弦值．

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