Question

已知橢圓C：1（a＞b＞0）經(jīng)過點(diǎn)M（1，），F(xiàn)₁，F(xiàn)₂是橢圓C的兩個焦點(diǎn)，且|MF₁|+|MF₂|=4．O為橢圓C的中心．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)P，Q是橢圓C上不同的兩點(diǎn)，且O為△MPQ的重心，試求△MPQ的面積．

Answer 1

解：（1）∵F₁，F(xiàn)₂是橢圓C的兩個焦點(diǎn)，且|MF₁|+|MF₂|=4，
∴由橢圓的定義知2a=4，∴a=2，…（3分）
∴橢圓C的方程為=1，
代入點(diǎn)M（1，），得=1，∴b²=3 …（5分）
故橢圓C的方程為 …（6分）
（2）若O點(diǎn)為△MPQ的重心，設(shè)PQ的中點(diǎn)為N，則，∴N（-，-），…（8分）
顯然直線PQ的斜率存在，不妨設(shè)為k，則方程為y+=k（x+）
代入橢圓方程，消去y得：（3+4k²）x²+k（4k-6）x+=0①…（9分）
∵點(diǎn)N在橢圓內(nèi)，△＞0恒成立，
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則x₁+x₂=，∴x_N==-
∴k=-，…（11分）
∴①式化簡為x²+x-2=0，∴x=-2或x=1
不妨P（-2，0），Q（1，-），由橢圓對稱性知S_△MPQ=2×=．…（14分）
分析：（1）利用橢圓的定義確定a的值，代入點(diǎn)M（1，），求出b的值，從而可得橢圓C的方程；
（2）確定N的坐標(biāo)，設(shè)出直線方程代入橢圓方程，求出直線方程，可得P，Q的坐標(biāo)，即可求△MPQ的面積．
點(diǎn)評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查橢圓的定義，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．