Question

在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD是正方形，MA⊥平面ABCD，PD∥MA，E，G，F(xiàn)分別為MB，PB，PC的中點，且AD=PD=2MA。

（1）求證：平面EFG⊥平面PDC；
（2）求三棱錐P-MAB與四棱錐P-ABCD的體積之比。

Answer 1

解：（1）證明：由已知MA⊥平面ABCD，PD∥MA，
所以PD⊥平面ABCD
又BC平面ABCD，
所以PD⊥BC
因為四邊形ABCD為正方形，
所以BC⊥DC
又PD∩DC=D，
因此BC⊥平面PDC
在△PBC中，因為C，F(xiàn)分別為PB，PC的中點，
所以GF∥BC，
因此GF⊥平面PDC
又GF平面EFG，
所以平面EFC⊥平面PDC。
（2）因為PD⊥平面ABCD，四邊形ABCD為正方形，
不妨設MA=1，則PD=AD=2
所以S_{正方形ABCD}·PD=
由于DA⊥面MAB，且PD∥MA，
所以DA即為點P到平面MAB的距離，
三棱錐V_P-MAB=
所以V_P-MAB：V_P-ABCD=1：4。