Question

13．如圖是一個(gè)面積為1的三角形，現(xiàn)進(jìn)行如下操作．第一次操作：分別連結(jié)這個(gè)三角形三邊的中點(diǎn)，構(gòu)成4個(gè)三角形，挖去中間一個(gè)三角形（如圖①中陰影部分所示），并在挖去的三角形上貼上數(shù)字標(biāo)簽“1”；第二次操作：連結(jié)剩余的三個(gè)三角形三邊的中點(diǎn)，再挖去各自中間的三角形（如圖②中陰影部分所示），同時(shí)在挖去的3個(gè)三角形上都貼上數(shù)字標(biāo)簽“2”；第三次操作：連結(jié)剩余的各三角形三邊的中點(diǎn)，再挖去各自中間的三角形，同時(shí)在挖去的三角形上都貼上數(shù)字標(biāo)簽“3”；…，如此下去．記第n次操作后剩余圖形的總面積為a_n．

（1）求a₁、a₂；
（2）欲使剩余圖形的總面積不足原三角形面積的$\frac{1}{4}$，問(wèn)至少經(jīng)過(guò)多少次操作？
（3）求第n次操作后，挖去的所有三角形上所貼標(biāo)簽上的數(shù)字和S_n．

Answer 1

分析 （1）觀察圖形直接可得結(jié)論；
（2）通過(guò)a_n=${（\frac{3}{4}）^n}＜\frac{1}{4}$，計(jì)算即得結(jié)論；
（3）通過(guò)設(shè)第n次操作挖去b_n個(gè)三角形可知${b_n}={3^{n-1}}$，利用錯(cuò)位相減法計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：（1）${a_1}=\frac{3}{4}$，${a_2}=\frac{9}{16}$…（（4分），每個(gè)2分）
（2）因?yàn)閧a_n}是以$\frac{3}{4}$為首項(xiàng)，以$\frac{3}{4}$為公比的等比數(shù)列，
所以a_n=${（\frac{3}{4}）^n}$…（6分）
由${（\frac{3}{4}）^n}＜\frac{1}{4}$，得3ⁿ＜4^n-1…（7分）
因?yàn)?¹＞4⁰，3²＞4¹，3³＞4²，3⁴＞4³，3⁵＜4⁴，
所以當(dāng)n=5時(shí)，${（\frac{3}{4}）^n}＜\frac{1}{4}$…（8分）
所以至少經(jīng)過(guò)5次操作，可使剩余圖形的總面積不足原三角形面積的$\frac{1}{4}$…（9分）
（3）設(shè)第n次操作挖去b_n個(gè)三角形，
則{b_n}是以1為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，
即${b_n}={3^{n-1}}$…（11分）
所以所有三角形上所貼標(biāo)簽上的數(shù)字的和S_n=1×1+2×3+…+n×3^n-1…（13分）
則3S_n=1×3+2×3²+…+n×3ⁿ，
兩式相減，得-2S_n=（1+3+3²+…+3^n-1）-n×3ⁿ=$\frac{{{3^n}-1}}{2}-n×{3^n}$，
故S_n=$（\frac{n}{2}-\frac{1}{4}）×{3^n}+\frac{1}{4}$…（14分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查等比數(shù)列、不等式及其性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及抽象概括能力、運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．