Question

1．為改善城市霧霾天氣造成的空氣污染，社會各界掀起凈化、美化環(huán)境的熱潮．某單位計劃在辦公樓前種植 A，B，C，D四棵風(fēng)景樹，受本地地理環(huán)境的影響，A，B兩棵樹種成活的概率均為$\frac{1}{2}$，另外兩棵樹種的成活率都為a（0＜a＜1）．
（1）若出現(xiàn)A，B有且只有一棵成活的概率與C，D都成活的概率相等，求a的值；
（2）當(dāng)a=$\frac{2}{3}$時，記ξ為最終成活的樹的數(shù)量，求ξ的分布列和期望．

Answer 1

分析 （1）A，B兩棵樹的成活的概率均為$\frac{1}{2}$，另外兩棵樹C，D成活概率都為a（0＜a＜1），出現(xiàn)A，B有且只有一棵成活的概率與C，D都成活的概率相等，可得2×$\frac{1}{2}×（1-\frac{1}{2}）$=a²．
（2）由題設(shè)知ξ的所有可能取值為0，1，2，3，4．P（ξ=0）=${∁}_{2}^{0}（1-\frac{1}{2}）^{2}•$${∁}_{2}^{0}（1-\frac{2}{3}）^{2}$，P（ξ=1）=${∁}_{2}^{1}×\frac{1}{2}×（1-\frac{1}{2}）$×${∁}_{2}^{0}$×$（1-\frac{2}{3}）^{2}$+${∁}_{2}^{0}（1-\frac{1}{2}）^{2}$$•{∁}_{2}^{1}•\frac{2}{3}$×$（1-\frac{2}{3}）$，P（ξ=3）=${∁}_{2}^{2}（\frac{1}{2}）^{2}•{∁}_{2}^{1}$$•\frac{2}{3}×（1-\frac{2}{3}）$+${∁}_{2}^{1}$×$\frac{1}{2}×（1-\frac{1}{2}）$$•{∁}_{2}^{2}（\frac{2}{3}）^{2}$．P（ξ=4）=${∁}_{2}^{2}（\frac{1}{2}）^{2}•{∁}_{2}^{2}（\frac{2}{3}）^{2}$，P（ξ=2）=1-P（ξ=0）-P（ξ=1）-P（ξ=3）-P（ξ=4）．

解答 解：（1）∵A，B兩棵樹的成活的概率均為$\frac{1}{2}$，另外兩棵樹C，D成活概率都為a（0＜a＜1），
出現(xiàn)A，B有且只有一棵成活的概率與C，D都成活的概率相等，
∴2×$\frac{1}{2}×（1-\frac{1}{2}）$=a²，∴a=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（2）由題設(shè)知ξ的所有可能取值為0，1，2，3，4．
P（ξ=0）=${∁}_{2}^{0}（1-\frac{1}{2}）^{2}•$${∁}_{2}^{0}（1-\frac{2}{3}）^{2}$=$\frac{1}{36}$．
P（ξ=1）=${∁}_{2}^{1}×\frac{1}{2}×（1-\frac{1}{2}）$×${∁}_{2}^{0}$×$（1-\frac{2}{3}）^{2}$+${∁}_{2}^{0}（1-\frac{1}{2}）^{2}$$•{∁}_{2}^{1}•\frac{2}{3}$×$（1-\frac{2}{3}）$=$\frac{1}{6}$．
P（ξ=3）=${∁}_{2}^{2}（\frac{1}{2}）^{2}•{∁}_{2}^{1}$$•\frac{2}{3}×（1-\frac{2}{3}）$+${∁}_{2}^{1}$×$\frac{1}{2}×（1-\frac{1}{2}）$$•{∁}_{2}^{2}（\frac{2}{3}）^{2}$=$\frac{1}{3}$．
P（ξ=4）=${∁}_{2}^{2}（\frac{1}{2}）^{2}•{∁}_{2}^{2}（\frac{2}{3}）^{2}$=$\frac{1}{9}$．
P（ξ=2）=1-P（ξ=0）-P（ξ=1）-P（ξ=3）-P（ξ=4）=$\frac{13}{36}$．
可得分布列：

ξ	0	1	2	3	4
P	$\frac{1}{36}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{13}{36}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{9}$

E（ξ）=$0×\frac{1}{36}$+1×$\frac{1}{6}$+2×$\frac{13}{36}$+3×$\frac{1}{3}$+4×$\frac{1}{9}$=$\frac{7}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查了隨機(jī)變量的概率計算公式及其數(shù)學(xué)期望、相互獨(dú)立與互斥事件的概率計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．