Question

已知橢圓的左右焦點分別為F₁、F₂，過F₁的直線交橢圓于B、D兩點，過F₂的直線交橢圓于A、C兩點，且AC⊥BD，垂足為P
（Ⅰ）設(shè)P點的坐標(biāo)為（x，y），證明：；
（Ⅱ）求四邊形ABCD的面積的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）橢圓的半焦距，由AC⊥BD知點P在以線段F₁F₂為直徑的圓上，故x²+y²=1，由此可以證出．
（Ⅱ）設(shè)BD的方程為y=k（x+1），代入橢圓方程，并化簡得（3k²+2）x²+6k²x+3k²-6=0．設(shè)B（x₁，y₁），D（x₂，y₂），由題意知|BD|=
再求出|AC|=，由此可以求出四邊形ABCD的面積的最小值．
解答：證明：（Ⅰ）橢圓的半焦距，
由AC⊥BD知點P在以線段F₁F₂為直徑的圓上，故x²+y²=1，
所以，．
（Ⅱ）（ⅰ）當(dāng)BD的斜率k存在且k≠0時，BD的方程為y=k（x+1），
代入橢圓方程，并化簡得（3k²+2）x²+6k²x+3k²-6=0．
設(shè)B（x₁，y₁），D（x₂，y₂），則，
|BD|=；
因為AC與BC相交于點P，且AC的斜率為，
所以，|AC|=．
四邊形ABCD的面積•|BD||AC|=．
當(dāng)k²=1時，上式取等號．
（ⅱ）當(dāng)BD的斜率k=0或斜率不存在時，四邊形ABCD的面積S=4．
綜上，四邊形ABCD的面積的最小值為．
點評：本題綜合考查橢圓的性質(zhì)信其應(yīng)用，難度較大，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)計算，注意公式的靈活運用，避免出現(xiàn)不應(yīng)有的錯誤．