Question

16．橢圓ax²+by²=1（a＞0，b＞0，且a≠b）與直線(xiàn)x+y-1=0相交于A，B兩點(diǎn)，C是AB的中點(diǎn)，若|AB|=2$\sqrt{2}$，直線(xiàn)OC的斜率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，求橢圓的方程．

Answer 1

分析 作差，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式．求得直線(xiàn)OC的斜率，求得b=$\sqrt{2}$a，利用韋達(dá)定理，弦長(zhǎng)公式即可求得（$\frac{2b}{a+b}$）²-4•$\frac{b-1}{a+b}$=4，即可求得a和b的值，即可求得橢圓的方程．

解答 解：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），那么A、B的坐標(biāo)是方程組$\left\{\begin{array}{l}{a{x}^{2}+b{y}^{2}=1}\\{x+y-1=0}\end{array}\right.$的解．
由ax₁²+by₁²=1，ax₂²+by₂²=1，兩式相減，得
a（x₁+x₂）（x₁-x₂）+b（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，
由$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=-1，
∴$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{{x}_{1}+{x}_{2}}$=$\frac{a}$，
即$\frac{2{y}_{c}}{2{x}_{c}}$=$\frac{a}$，則$\frac{{y}_{c}}{{x}_{c}}$=$\frac{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，則b=$\sqrt{2}$a，①
再由方程組消去y得（a+b）x²-2bx+b-1=0，
由x₁+x₂=$\frac{2b}{a+b}$，x₁+x₂=$\frac{b-1}{a+b}$，
由|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=2$\sqrt{2}$，
得（x₁+x₂）²-4x₁x₂=4，即（$\frac{2b}{a+b}$）²-4•$\frac{b-1}{a+b}$=4．②
由①②解得a=$\frac{1}{3}$，b=$\frac{\sqrt{2}}{3}$，
故所求的橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{\sqrt{2}{y}^{2}}{3}=1$，
橢圓的方程$\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{\sqrt{2}{y}^{2}}{3}=1$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的綜合，其中設(shè)而不求，聯(lián)立方程，韋達(dá)定理，是解答此類(lèi)問(wèn)題常用的方法，屬于中檔題．