Question

6．在△ABC中，∠A的內角平分線交BC于D，用正弦定理證明：$\frac{AB}{AC}$=$\frac{BD}{DC}$．

Answer 1

分析 在△ABD中，由正弦定理得$\frac{AD}{sinB}=\frac{AB}{sin∠ADB}=\frac{BD}{sin∠BAD}$，在△ACD中，由正弦定理得$\frac{AD}{sinC}=\frac{AC}{sin∠ADC}=\frac{DC}{sin∠DAC}$，由sin∠ADB=sin∠ADC，sin∠BAD=sin∠DAC，即可得證．

解答 證明：在△ABD中，由正弦定理可得：$\frac{AD}{sinB}=\frac{AB}{sin∠ADB}=\frac{BD}{sin∠BAD}$；
在△ACD中，由正弦定理可得：$\frac{AD}{sinC}=\frac{AC}{sin∠ADC}=\frac{DC}{sin∠DAC}$；
因為：sin∠ADB=sin∠ADC，sin∠BAD=sin∠DAC
可得：$\frac{AB}{AC}$=$\frac{BD}{DC}$，從而得證．

點評 本題主要考查了正弦定理的應用，考查了角平分線的性質，屬于基本知識的考查．