Question

如圖所示，四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝AB＝2，E、F、G分別為PC、PD、BC的中點．

(1)求證：PA⊥EF；

(2)求二面角D－FG－E的余弦值．

 

Answer 1

以D為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系D－xyz，則D(0,0,0)，A(0,2,0)，C(－2,0,0)，P(0,0,2)，E(－1,0,1)，F(0,0,1)，G(－2,1,0)．

(1)證明：由于＝(0,2，－2)，＝(1,0,0)，

則·＝1×0＋0×2＋(－2)×0＝0，

∴PA⊥EF.

(2)易知＝(0,0,1)，＝(1,0,0)，＝(－2,1，－1)，

設(shè)平面DFG的法向量m＝(x₁，y₁，z₁)，

則

令x₁＝1，得m＝(1,2,0)是平面DFG的一個法向量．

設(shè)平面EFG的法向量n＝(x₂，y₂，z₂)，

同理可得n＝(0,1,1)是平面EFG的一個法向量．

∵cos〈m，n〉＝

設(shè)二面角D－FG－E的平面角為θ，由圖可知θ＝π－〈m，n〉，∴cosθ＝－，

∴二面角D－FG－E的余弦值為－.