Question

14．已知拋物線C：y²=4x的焦點(diǎn)為F，過F的直線l交C于A，B兩點(diǎn)，M為線段AB的中點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．AO、BO的延長線與直線x=-4分別交于P、Q兩點(diǎn)．
（Ⅰ）求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程；
（Ⅱ）連接OM，求△OPQ與△BOM的面積比．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)拋物線方程求得焦點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而設(shè)出過焦點(diǎn)弦的直線方程，與拋物線方程聯(lián)立消去y，根據(jù)韋達(dá)定理表示出x₁+x₂，進(jìn)而根據(jù)直線方程求得y₁+y₂，進(jìn)而求得焦點(diǎn)弦的中點(diǎn)的坐標(biāo)的表達(dá)式，消去參數(shù)k，則焦點(diǎn)弦的中點(diǎn)軌跡方程可得．
（2）求出P，Q的坐標(biāo)，可得面積，即可求△OPQ與△BOM的面積比．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)A （x₁，y₁），B（x₂，y₂），由題知拋物線焦點(diǎn)為（1，0）
設(shè)焦點(diǎn)弦方程為y=k（x-1）
代入拋物線方程得所以k²x²-（2k²+4）x+k²=0
由韋達(dá)定理：x₁+x₂=2+$\frac{4}{{k}^{2}}$
所以中點(diǎn)M橫坐標(biāo)：x=1+$\frac{2}{{k}^{2}}$
代入直線方程，中點(diǎn)M縱坐標(biāo)：y=k（x-1）=$\frac{2}{k}$．即中點(diǎn)M為（1+$\frac{2}{{k}^{2}}$，$\frac{2}{k}$）
消參數(shù)k，得其方程為：y²=2x-2，
當(dāng)線段PQ的斜率不存在時(shí)，線段PQ中點(diǎn)為焦點(diǎn)F（1，0），滿足此式，
故動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為：y²=2x-2…（6分）
（Ⅱ）設(shè)AB：ky=x-1，代入y²=4x，得y²-4ky-4=0，
y₁+y₂=4k，y₁•y₂=-4，
聯(lián)立，得P（-4，-$\frac{16}{{y}_{1}}$），同理Q（-4，-$\frac{16}{{y}_{2}}$），…（9分）
|PQ|=4|y₁-y₂|，
∴S_△OPQ=8|y₁-y₂|，
又∵S_△OMB=$\frac{1}{4}$|y₁-y₂|，故△OPQ與△BOM的面積比為32．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了拋物線的簡單性質(zhì)，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題．