Question

6．已知定義在R上的函數(shù)滿足f（x）+2f′（x）＞0恒成立，且f（2）=$\frac{1}{e}$（e為自然對數(shù)的底數(shù)），則不等式e^x•f（x）-e${\;}^{\frac{x}{2}}$＞0的解集為（2，+∞）．

Answer 1

分析 令F（x）=${e}^{\frac{x}{2}}$f（x），從而求導(dǎo)F′（x），從而由導(dǎo)數(shù)求解不等式．

解答 解：定義在R上的函數(shù)滿足f（x）+2f′（x）＞0恒成立，
令F（x）=${e}^{\frac{x}{2}}$f（x），
則F′（x）=$\frac{1}{2}$${e}^{\frac{x}{2}}$[f（x）+2f′（x）]＞0，
故F（x）是R上的單調(diào)增函數(shù)，
而F（2）=e¹f（2）=1，
故不等式e^xf（x）＞${e}^{\frac{x}{2}}$（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）的解集為（2，+∞）；
故答案為：（2，+∞）．

點評 本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及利用函數(shù)求解不等式，屬于中檔題．