Question

已知：函數(shù)（a＞1）
（1）求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若函數(shù)y=f（x）在x=2取極值，求函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[e^-2，e²]上的最大值．

Answer 1

解：（1）函數(shù)f（x）定義域為x＞0，
=．
由f'（x）＞0且x＞0
得即
（i）當(dāng)a-1=1即a=2時，f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)；
（ii）當(dāng)a＞2時，x＞a-1或0＜x＜1，∴f（x）在（a-1，+∞），（0，1）上為增函數(shù)；
（iii）當(dāng)1＜a＜2時，0＜x＜a-1或x＞1，∴f（x）在（0，a-1），（1，+∞）上為增函數(shù)．
綜上可知：f（x）的單調(diào)區(qū)間為：當(dāng)a=2時，（0，+∞）
當(dāng)a＞2時，（a-1，+∞），（0，1）
當(dāng)1＜a＜2時，（0，a-1），（1，+∞）．
（2）x=2是f（x）極值點，∴f'（2）=0，即，解得a=3．
∴（x＞0），．
∵，且當(dāng)2＜x＜e²時，f^′（x）＞0；當(dāng)1＜x＜2時，f^′（x）＜0；當(dāng)時，f′（x）＞0．
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間及（2，e²]上單調(diào)遞增，在區(qū)間（1，2）上單調(diào)遞減．
∴f（x）在最大值應(yīng)在x=1和x=e²處取得
又，，
∴．
分析：（1）利用f^′（x）＞0即可求出其單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）利用函數(shù)取得極值點的條件先求出a的值，再利用導(dǎo)數(shù)得出其單調(diào)區(qū)間、極值，進(jìn)而即可求出其最值．
點評：熟練掌握分類討論的思想方法、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值是解題的關(guān)鍵．