【題目】已知f(n)=1+ + + +…+ ,g(n)= ﹣ ,n∈N* .
(1)當n=1,2,3時,試比較f(n)與g(n)的大小關系;
(2)猜想f(n)與g(n)的大小關系,并給出證明.
【答案】
(1)解:當n=1時,f(1)=1,g(1)=1,所以f(1)=g(1);
當n=2時, , ,
所以f(2)<g(2);
當n=3時, , ,
所以f(3)<g(3)
(2)解:由(1),猜想f(n)≤g(n),下面用數學歸納法給出證明:
①當n=1,2,3時,不等式顯然成立.
②假設當n=k(k≥3)時不等式成立,
即即 + +…+ < ,
那么,當n=k+1時, ,
因為 ,
所以 .
由①、②可知,對一切n∈N*,都有f(n)≤g(n)成立
【解析】(1)根據已知 , ,n∈N* . 我們易得當n=1,2,3時,兩個函數函數值的大小,比較后,根據結論我們可以歸納推理得到猜想f(n)≤g(n);(2)但歸納推理的結論不一定正確,我們可用數學歸納法進行證明,先證明不等式f(n)≤g(n)當n=1時成立,再假設不等式f(n)≤g(n)當n=k(k≥1)時成立,進而證明當n=k+1時,不等式f(n)≤g(n)也成立,最后得到不等式f(n)≤g(n)對于所有的正整數n成立;
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【題目】如圖,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AA1⊥底面ABC,且△ABC為等邊三角形,AA1=AB=6,D為AC的中點.
(1)求證:直線AB1∥平面BC1D;
(2)求證:平面BC1D⊥平面ACC1A1;
(3)求三棱錐C﹣BC1D的體積.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】下列關于棱錐、棱臺的說法,其中不正確的是( )
A.棱臺的側面一定不會是平行四邊形
B.棱錐的側面只能是三角形
C.由四個面圍成的封閉圖形只能是三棱錐
D.棱錐被平面截成的兩部分不可能都是棱錐
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】某高校調查了200名學生每周的自習時間(單位:小時),制成了如圖所示的頻率分布直方圖,其中自習時間的范圍是[17.5,30],樣本數據分組為[17.5,20),[20,22.5),[22.5,25),[25,27.5),[27.5,30].根據直方圖,這200名學生中每周的自習時間不少于22.5小時的人數是( )
A.56
B.60
C.120
D.140
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】已知函數f(x)=xlnx
(1)求f(x)在點(1,f(1))處的切線方程;
(2)若函數 在[1,e]上的最小值為 ,求a的值;
(3)若k∈Z,且f(x)+x﹣k(x﹣1)>0對任意x>1恒成立,求k的最大值.
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【題目】要得到函數y=3cosx的圖象,只需將函數y=3sin(2x﹣ )的圖象上所有點的( )
A.橫坐標縮短到原來的 (縱坐標不變),所得圖象再向左平移 個單位長度
B.橫坐標縮短到原來的 (縱坐標不變),所得圖象再向右平移 個單位長度
C.橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變),所得圖象再向左平移 個單位長度
D.橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變),所得圖象再向右平移 個單位長度
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】某市司法部門為了宣傳《憲法》舉辦法律知識問答活動,隨機對該市18~68歲的人群抽取一個容量為n的樣本,并將樣本數據分成五組:[18,28),[28,38),[38,48),[48,58),[58,68),再將其按從左到右的順序分別編號為第1組,第2組,…,第5組,繪制了樣本的頻率分布直方圖;并對回答問題情況進行統(tǒng)計后,結果如下表所示.
組號 | 分組 | 回答正確的人數 | 回答正確的人數占本組的比例 |
第1組 | [18,28) | 5 | 0.5 |
第2組 | [28,38) | 18 | a |
第3組 | [38,48) | 27 | 0.9 |
第4組 | [48,58) | x | 0.36 |
第5組 | [58,68) | 3 | 0.2 |
(1)分別求出a,x的值;
(2)從第2,3,4組回答正確的人中用分層抽樣方法抽取6人,則第2,3,4組每組應各抽取多少人?
(3)在(2)的前提下,決定在所抽取的6人中隨機抽取2人頒發(fā)幸運獎,求:所抽取的人中第2組至少有1人獲得幸運獎的概率.
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【題目】一個生物研究性學習小組,為了研究平均氣溫與一天內某豆類胚芽生長之間的關系,他們分別記錄了4月6日至4月11日的平均氣溫x(℃)與該豆類胚芽一天生長的長度y(mm),得到如下數據:
日期 | 4月6日 | 4月7日 | 4月8日 | 4月9日 | 4月10日 | 4月11日 |
平均氣溫x(℃) | 10 | 11 | 13 | 12 | 8 | 6 |
一天生長的長度y(mm) | 22 | 25 | 29 | 26 | 16 | 12 |
該小組的研究方案是:先從這六組數據中選取6日和11日的兩組數據作為檢驗數據,用剩下的4組數據即:7日至10日的四組數據求出線性回歸方程.
(1)請按研究方案求出y關于x的線性回歸方程 = x+ ;
(2)用6日和11日的兩組數據作為檢驗數據,并判斷該小組所得線性回歸方程是否理想.(若由線性回歸方程得到的估計數據與所選的檢驗數據的誤差不超過1mm,則認為該方程是理想的)
參考公式: .
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