Question

18．直線ax+by+c=0與圓O：x²+y²=16相交于兩點M、N，若c²=a²+b²，P為圓O上任意一點，則$\overrightarrow{PM}•\overrightarrow{PN}$的取值范圍是[-6，10]．

Answer 1

分析 取MN的中點A，連接OA，則OA⊥MN．由點到直線的距離公式算出OA=1，從而在Rt△AON中，得到cos∠AON=$\frac{1}{4}$，得cos∠MON=-$\frac{7}{8}$，最后根據(jù)向量數(shù)量積的公式即可算出$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$的值，運用向量的加減運算和向量數(shù)量積的定義，可得$\overrightarrow{PM}•\overrightarrow{PN}$=2-8cos∠AOP，考慮$\overrightarrow{OP}$，$\overrightarrow{OA}$同向和反向，可得最值，即可得到所求范圍．

解答 解：取MN的中點A，連接OA，則OA⊥MN，
∵c²=a²+b²，
∴O點到直線MN的距離OA=$\frac{|c|}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$=1，
x²+y²=16的半徑r=4，
∴Rt△AON中，設(shè)∠AON=θ，得cosθ=$\frac{OA}{ON}$=$\frac{1}{4}$，
cos∠MON=cos2θ=2cos²θ-1=$\frac{1}{8}$-1=-$\frac{7}{8}$，
由此可得，$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=|$\overrightarrow{OM}$|•|$\overrightarrow{ON}$|cos∠MON
=4×4×（-$\frac{7}{8}$）=-14，
則$\overrightarrow{PM}•\overrightarrow{PN}$=（$\overrightarrow{OM}$-$\overrightarrow{OP}$）•（$\overrightarrow{ON}$-$\overrightarrow{OP}$）=$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$+$\overrightarrow{OP}$²-$\overrightarrow{OP}$•（$\overrightarrow{OM}$+$\overrightarrow{ON}$）
=-14+16-2$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OA}$=2-2|$\overrightarrow{OP}$|•|$\overrightarrow{OA}$|•cos∠AOP=2-8cos∠AOP，
當(dāng)$\overrightarrow{OP}$，$\overrightarrow{OA}$同向時，取得最小值且為2-8=-6，
當(dāng)$\overrightarrow{OP}$，$\overrightarrow{OA}$反向時，取得最大值且為2+8=10．
則$\overrightarrow{PM}•\overrightarrow{PN}$的取值范圍是[-6.10]．
故答案為：[-6.10]．

點評 本題考查向量的加減運算和向量的數(shù)量積的定義，著重考查了直線與圓的位置關(guān)系和向量數(shù)量積的運算公式等知識點，注意運用轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．