Question

3．對(duì)于函數(shù)f（x），若在定義域x內(nèi)存在實(shí)數(shù)x，滿足f（-x）=-f（x），則稱f（x）為“局部奇函數(shù)”．p：f（x）=m+2^x為定義在[-1，1]上的“局部奇函數(shù)”；q：曲線g（x）=x²+（5m+1）x+1與x軸交于不同的兩點(diǎn)；若“p∧q”為假命題，“p∨q”為真命題，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 根據(jù)條件分別求出命題p，q為真命題的等價(jià)條件，結(jié)合復(fù)合命題真假關(guān)系建立不等式關(guān)系進(jìn)行求解即可．

解答 解：若p為真，則由f（x）=m+2^x為定義在[-1，1]上的“局部奇函數(shù)”，
則f（-x）+f（x）=0有解，即2m+2^x+2^-x=0，
則-2m=2^x+2^-x，
設(shè)t=2^x，則t∈[$\frac{1}{2}$，2]，
則g（t）=t+$\frac{1}{t}$，在[$\frac{1}{2}$，1]上遞減，在[1，2]，上遞增，
則g（t）∈[2，$\frac{5}{2}$]，
則-2m∈[2，$\frac{5}{2}$]，得-$\frac{5}{4}$≤m≤-1，
若q為真，則判別式△=（5m+1）²-4＞0，
得m＞$\frac{1}{5}$或m＜$-\frac{3}{5}$，
若“p∧q”為假命題，“p∨q”為真命題，
則p，q一個(gè)為真命題一個(gè)為假命題，
若p真q假，則$\left\{{\begin{array}{l}{-\frac{5}{4}≤m≤-1}\\{-\frac{3}{5}≤m≤\frac{1}{5}}\end{array}}\right.$，得無交集          
若p假q真，則$\left\{{\begin{array}{l}{m＞-1或m＜-\frac{5}{4}}\\{m＞\frac{1}{5}或m＜-\frac{3}{5}}\end{array}}\right.$，得$m＜-\frac{5}{4}$或$-1＜m＜-\frac{3}{5}$或$m＞\frac{1}{5}$
綜上知m的取值范圍為$m＜-\frac{5}{4}$或$-1＜m＜-\frac{3}{5}$或$m＞\frac{1}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查復(fù)合命題真假關(guān)系的應(yīng)用，根據(jù)條件求出命題為真命題的等價(jià)條件是解決本題的關(guān)鍵．