如圖，四棱錐P-ABCD中，AD∥BC，∠ADC=，PC⊥平面ABCD，點(diǎn)E為AB中點(diǎn)．AC⊥DE，其中AD=1，PC=2，CD=；
（1）求直線PC與平面PDE所成的角；
（2）求點(diǎn)B到平面PDE的距離．

【答案】分析：（1）建立空間坐標(biāo)系c-xyz，分別求出直線PC的方向向量與平面PDE的法向量，代入向量夾角公式，即可得到直線PC與平面PDE所成的角；
（2）根據(jù)（1）中平面PDE的法向量，設(shè)點(diǎn)B到平面PDE的距離為d，代入點(diǎn)到平面距離公式，即可求出點(diǎn)B到平面PDE的距離．
解答：解：如圖建立空間坐標(biāo)系c-xyz
設(shè)BC=a，則A（1，，0），D（0，，0），B（a，0，0），E（，，0），P（0，0，2）
=（1，，0），=，，0）
∵AC⊥DE
∴，即a=2．
∴E（，，0）
設(shè)平面PDE的一個(gè)法向量=（x，y，z），，，-2），=（，，0），
則，，即，
令x=2，得，z=3，所以=（2，，3）．
設(shè)直線PC與平面PDE所成的角為θ
∵=（0，0，2），
∴，==，
∴．
故直線PC與平面PDE所成的角為arccos
（2）=（-2，0，2）
設(shè)點(diǎn)B到平面PDE的距離為d，
則=．
即點(diǎn)B到平面PDE的距離為
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線與平面所成的角，點(diǎn)到平面的距離，其中建立適當(dāng)?shù)目臻g坐標(biāo)系，線面夾角及點(diǎn)到平面距離問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為向量夾角或向量求模問(wèn)題是解答本題的關(guān)鍵．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，
E是PC的中點(diǎn)．求證：
（Ⅰ）CD⊥AE；
（Ⅱ）PD⊥平面ABE．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，AB=AD=2CD=2，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，且△PAD為等腰直角三角形，∠APD=90°，M為AP的中點(diǎn)．
（1）求證：AD⊥PB；
（2）求三棱錐P-MBD的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是矩形，AB=2，BC=
2
，且側(cè)面PAB是正三角形，平面PAB⊥平面ABCD．
（1）求證：PD⊥AC；
（2）在棱PA上是否存在一點(diǎn)E，使得二面角E-BD-A的大小為45°，若存在，試求
AE
AP
的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥底面ABCD，且PA=AB=1，AD=
3
，點(diǎn)F是PB中點(diǎn)．
（Ⅰ）若E為BC中點(diǎn)，證明：EF∥平面PAC；
（Ⅱ）若E是BC邊上任一點(diǎn)，證明：PE⊥AF；
（Ⅲ）若BE=
3
3
，求直線PA與平面PDE所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD，PA⊥平面ABCD，ABCD是直角梯形，DA⊥AB，CB⊥AB，PA=2AD=BC=2，AB=2
2
，設(shè)PC與AD的夾角為θ．
（1）求點(diǎn)A到平面PBD的距離；
（2）求θ的大�。划�(dāng)平面ABCD內(nèi)有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)Q始終滿足PQ與AD的夾角為θ，求動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程．

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