Question

12．已知橢圓C兩焦點坐標分別為F₁（-$\sqrt{2}$，0），F₂（$\sqrt{2}$，0），一個頂點為A（0，-1）．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）是否存在斜率為k（k≠0）的直線l，使直線l與橢圓C交于不同的兩點M，N，滿足|AM|=|AN|．則線段MN的中點的縱坐標是否為定值？若不為定值，請說明理由，若為定值，請求出該定值．
變式：若斜率為k（k≠0）的直線l與橢圓交于不同的兩點M，N，線段MN的中點是否在一條定直線上？

Answer 1

分析 （1）設橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），求得c，b，可得a，進而得到橢圓方程；
（2）假設存在斜率為k（k≠0）的直線l，使直線l與橢圓C交于不同的兩點M，N，滿足|AM|=|AN|．設直線l的方程為y=kx+t，代入橢圓方程x²+3y²=3，消去y，可得x的方程，運用韋達定理和中點坐標公式，可得中點P的坐標，再由AP垂直于MN，運用斜率之積為-1，求得1+3k²=2t，即可得到定值；
變式：由中點坐標，寫出參數方程的形式，t為參數，兩式相除消去t，可得定直線．

解答 解：（1）設橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），
由題意可得c=$\sqrt{2}$，b=1，a=$\sqrt{^{2}+{c}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
即有橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{3}$+y²=1；
（2）假設存在斜率為k（k≠0）的直線l，
使直線l與橢圓C交于不同的兩點M，N，滿足|AM|=|AN|．
設直線l的方程為y=kx+t，代入橢圓方程x²+3y²=3，
可得（1+3k²）x²+6ktx+3t²-3=0，
判別式為36k²t²-4（1+3k²）（3t²-3）＞0，
x₁+x₂=-$\frac{6kt}{1+3{k}^{2}}$，MN的中點P的坐標為（-$\frac{3kt}{1+3{k}^{2}}$，$\frac{t}{1+3{k}^{2}}$），
由|AM|=|AN|可得AP⊥MN，即k_AP=-$\frac{1}{k}$，
可得$\frac{t+1+3{k}^{2}}{-3kt}$=-$\frac{1}{k}$，即有1+3k²=2t，代入判別式大于0成立．
MN的中點P的縱坐標為$\frac{t}{2t}$=$\frac{1}{2}$，為定值．
變式：由（2）可得MN的中點P的坐標為（-$\frac{3kt}{1+3{k}^{2}}$，$\frac{t}{1+3{k}^{2}}$），
即有$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{3kt}{1+3{k}^{2}}}\\{y=\frac{t}{1+3{k}^{2}}}\end{array}\right.$，消去t，可得y=-$\frac{1}{3k}$x，
故線段MN的中點在一條定直線y=-$\frac{1}{3k}$x上．

點評 本題考查橢圓的方程的求法，注意運用焦點和頂點坐標，考查定值和定直線的問題的求法，注意運用聯立直線方程和橢圓方程，運用韋達定理和中點坐標公式，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．