Question

點(diǎn)P是橢圓

x2

2

+y²=1上的一點(diǎn)，F(xiàn)₁和F₂是焦點(diǎn)，且∠F₁PF₂=30°，求△F₁PF₂的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：根據(jù)橢圓的定義，得|PF₁|+|PF₂|=2a=2

2

…①，再在△F₁PF₂中用余弦定理，得|PF₁|²+|PF₂|²-2|PF₁||PF₂|cos30°=|F₁F₂|²=（2c）²=4…②．由①②聯(lián)解，得（2+

3

）|PF₁|•|PF₂|=4，最后用根據(jù)正弦定理關(guān)于面積的公式，可得△PF₁F₂的面積．

解答： 解：在橢圓

x2

2

+y²=1中，a=

2

，b=1，∴c=1
又∵點(diǎn)P在橢圓上，∴|PF₁|+|PF₂|=2a=2

2

①（6分）
由余弦定理知：|PF₁|²+|PF₂|²-2|PF₁||PF₂|cos30°=|F₁F₂|²=（2c）²=4 ②（8分）
把①兩邊平方得|PF₁|²+|PF₂|²+2|PF₁|•|PF₂|=8，③
③-②得（2+

3

）|PF₁|•|PF₂|=4，
∴|PF₁|•|PF₂|=4（2-

3

），（10分）
∴S△PF1F2=

1

2

|PF₁|•|PF₂|sin30°=2-

3

（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題給出橢圓上一點(diǎn)對(duì)兩個(gè)焦點(diǎn)的張角為30°，求橢圓兩焦點(diǎn)與該點(diǎn)構(gòu)成三角形的面積，著重考查了橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)和正、余弦定理等知識(shí)點(diǎn)，屬于中檔題．