Question

對(duì)一切正整數(shù)n，不等式

2x-1

|x|

＞

n

n+1

恒成立，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：把不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為x＞

1

2

+

1

4n+2

  恒成立，由于

1

2

+

1

4n+2

  是個(gè)單調(diào)減函數(shù)，n=1時(shí)，

1

2

+

1

4n+2

  有最大值為

2

3

，故得實(shí)數(shù)x的取值范圍．

解答：解：由題意知，實(shí)數(shù)x應(yīng)是正數(shù)，不等式即 2-

1

x

＞

n

n+1

 恒成立，即

1

x

＜

2n+1

n+1

  恒成立，
即x＞

n+1

2n+1

=

1

2

+

1

4n+2

  恒成立，
∵

1

2

+

1

4n+2

  是個(gè)單調(diào)減函數(shù)，∴正整數(shù)n=1時(shí)，

1

2

+

1

4n+2

  有最大值為

2

3

，
∴實(shí)數(shù)x的取值范圍是（

2

3

，+∞），
故答案為 （

2

3

，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查絕對(duì)值不等式的解法（關(guān)鍵是去掉絕對(duì)值），以及函數(shù)的恒成立問題，利用單調(diào)性求函數(shù)的最值．