Question

定義在R上的函數(shù)f（x）滿(mǎn)足f（x+1）=2f（x），且當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f（x）=x（1-x）；
（1）求當(dāng)-1≤x≤0時(shí)，f（x）的解析式．
（2）求f（x）在[-1，1]上的單調(diào)區(qū)間和最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用,函數(shù)的周期性

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1），令x∈[-1，0]，由f（x+1）=2f（x），和f（x）=x（1-x）；即可求出函數(shù)f（x）的解析式．
（2）利用條件證明函數(shù)的單調(diào)性，然后利用單調(diào)性，求函數(shù)的最值即可．

解答： 解（1）令x∈[-1，0]，則x+1∈[0，1]…（1分）
由已知，得f(x)=

1

2

f(x+1)=

1

2

(x+1)[1-(x+1)]=-

1

2

x(x+1)（-1≤x≤0）．…（4分）
（2）由（1）知，當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f(x)=-(x-

1

2

)2+

1

4

，…（5分）
則f（x）在[0，

1

2

]上單調(diào)遞增，在[

1

2

，1]上單調(diào)遞減；…（6分）
當(dāng)-1≤x≤0時(shí)，f(x)=-

1

2

(x+

1

2

)2+

1

8

，…（7分）
則f（x）在[-1，-

1

2

]上單調(diào)遞增，在[-

1

2

，0]上單調(diào)遞減；…（8分）
故f（x）在[-1，1]上的單調(diào)遞增區(qū)間為[-1，-

1

2

]和[0，

1

2

]，
單調(diào)遞減區(qū)間為[-

1

2

，0]和[

1

2

，1]；…（9分）
由f（x）在[-1，1]上的單調(diào)性知，f（x）在[-1，1]上的最大值為max{f(-

1

2

)，f(

1

2

)}；…（11分）
又f(-

1

2

)=

1

8

，f(

1

2

)=

1

4

，因此，f（x）在[-1，1]上的最大值為

1

4

．…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查抽象函數(shù)的應(yīng)用，利用條件證明函數(shù)的單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵．