Question

在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別a，b，c．已知向量

m

=（cosA，a），

n

=（b-2c，cosB-2cosC），滿足

m

⊥

n

．
（1）求

sinB

sinC

的值；
（2）若cosA=

1

4

，a=2，求△ABC的面積．

Answer 1

考點：正弦定理,平面向量數(shù)量積的運算

專題：解三角形

分析：（1）先根據(jù)向量垂直和向量的坐標，建立等式，利用兩角和公式化簡可求得sinB和sinC的關系．
（2）先利用正弦定理根據(jù)（1）的結(jié)論求得b和c的關系，進而根據(jù)余弦定理和已知條件求得b和c，利用平方關系求得sinA的值，最后利用三角形面積公式求得答案．

解答： 解：（1）∵

m

⊥

n

，
∴cosA（b-2c）+a（cosB-2cosC）=0，
∴cosAsinB-2sinCcosA+sinAcosB-2sinAcosC=0，
∴sin（A+B）=2sin（A+C），
∴sinC=2sinB，
∵sinC≠0，
∴

sinB

sinC

=

1

2

．
（2）∵

sinB

sinC

=

1

2

，
∴

b

c

=

1

2

，設b=t，c=2t，
由余弦定理知cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

t2+4t2-4

2•1•2t2

=

1

4

，
∴t=1，
∴b=1，c=2
sinA=

1-cos2A

=

15

4

∴S=

1

2

bcsinA=

1

2

×1×2×

15

4

=

15

4

．

點評：本題主要考查了正弦定理和余弦定理的應用．要求學生能對正弦定理和余弦定理公式及變形公式熟練記憶．