Question

12．設(shè)a＞0，b＞0，對(duì)任意的實(shí)數(shù)x＞1，有ax+$\frac{x}{x-1}$＞b成立，試比較$\sqrt{a}$+1和$\sqrt$的大小．

Answer 1

分析 構(gòu)造函數(shù)$f（x）=ax+\frac{x}{x-1}$，由基本不等式可求f（x）的最小值，由恒成立可得$b＜{（{\sqrt{a}+1}）^2}$，可得$\sqrt{a}+1＞\sqrt$．

解答 解：設(shè)$f（x）=ax+\frac{x}{x-1}$，則$f（x）=ax+1+\frac{1}{x-1}=（{a+1}）+a（{x-1}）+\frac{1}{x-1}$，
∵x＞1，∴x-1＞0，∴$f（x）≥a+1+2\sqrt{a}={（{\sqrt{a}+1}）^2}$，
當(dāng)且僅當(dāng)$a（{x-1}）=\frac{1}{x-1}（{x＞1}）$，即$x=1+\sqrt{\frac{1}{a}}$時(shí)，上式取“=”，
又f（x）＞b恒成立，∴$b＜{（{\sqrt{a}+1}）^2}$，
又∵a＞0，b＞0，∴$\sqrt{a}+1＞\sqrt$

點(diǎn)評(píng) 本題考查基本不等式，變形為可用基本不等式的形式是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，屬中檔題．