(2013•濟(jì)寧一模)已知函數(shù)f(x)=lnx-
a
x
;
(Ⅰ)若a>0,試判斷f(x)在定義域內(nèi)的單調(diào)性;
(Ⅱ)若f(x)在[1,e]上的最小值為
3
2
,求a的值;
(Ⅲ)若f(x)<x2在(1,+∞)上恒成立,求a的取值范圍.
分析:(I)先確定函數(shù)f(x)的定義域,再求導(dǎo)函數(shù),從而可判定f(x)在定義域內(nèi)的單調(diào)性;
(II)由(I)可知,f′(x)=
x+a
x2
.再分類討論:a≥-1,f(x)在[1,e]上為增函數(shù);a≤-e,f(x)在[1,e]上為減函數(shù);e<a<-1,f(x)在(1,-a)上為減函數(shù),f(x)在(-a,e)上為增函數(shù),利用f(x)在[1,e]上的最小值為
3
2
,可求a的值;
(III)先將不等式整理,再分離參數(shù),構(gòu)建新函數(shù),利用單調(diào)性求出函數(shù)值的范圍,即可求出a的取值范圍.
解答:解:(I)由題意f(x)的定義域?yàn)椋?,+∞),且f'(x)=
1
x
+
a
x2
=
x+a
x2
…(2分)
∵a>0,
∴f'(x)>0,
故f(x)在(0,+∞)上是單調(diào)遞增函數(shù)      …(4分)
(II)由(I)可知,f′(x)=
x+a
x2

(1)若a≥-1,則x+a≥0,即f′(x)≥0在[1,e]上恒成立,此時(shí)f(x)在[1,e]上為增函數(shù),
∴[f(x)]min=f(1)=-a=
3
2
,
∴a=-
3
2
(舍去) …(5分)
(2)若a≤-e,則x+a≤0,即f′(x)≤0在[1,e]上恒成立,此時(shí)f(x)在[1,e]上為減函數(shù),
∴[f(x)]min=f(e)=1-
a
e
=
3
2
⇒a=-
e
2
(舍去)…(6分)
(3)若-e<a<-1,令f'(x)=0得x=-a,當(dāng)1<x<-a時(shí),f'(x)<0,
∴f(x)在(1,-a)上為減函數(shù),f(x)在(-a,e)上為增函數(shù),
∴[f(x)]min=f(-a)=ln(-a)+1=
3
2
⇒a=-
e

∴[f(x)]min=f(-a)=ln(-a)+1=
3
2

∴a=-
e
.…(8分)
綜上所述,a=-
e

(III)∵f(x)<x2
∴l(xiāng)nx-
a
x
x2

又x>0,∴a>xlnx-x3…(9分)
令g(x)=xlnx-x3,h(x)=g′(x)=1+lnx-3x2,
∴h'(x)=
1
x
-6x=
1-6x2
x
∵x∈(1,+∞)時(shí),h'(x)<0,
∴h(x)在(1,+∞)上是減函數(shù),…(10分)
∴h(x)<h(1)=-2<0
即g'(x)<0∴g(x)在(1,+∞)上也是減函數(shù),
∴g(x)在(1,+∞)上是減函數(shù)
∴g(x)<g(1)=-1
∴當(dāng)a≥-1時(shí),f(x)<x2在(1,+∞)上恒成立.…(12分)
∴a≥-1
點(diǎn)評(píng):本題重點(diǎn)考查函數(shù)的單調(diào)性,考查函數(shù)的最值,考查恒成立問(wèn)題,解題的關(guān)鍵是運(yùn)用導(dǎo)數(shù),確定函數(shù)的單調(diào)性,運(yùn)用分離參數(shù)法求解恒成立問(wèn)題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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π
3
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π
3
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190
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