已知數(shù)列{an}滿足:對于n∈N,都有an+1=
13an-25
an+3

(1)若a1=5,求an;
(2)若a1=3,求an
(3)若a1=6,求an
(4)當(dāng)a1取哪些值時,無窮數(shù)列{an}不存在?
考點(diǎn):數(shù)列遞推式
專題:等差數(shù)列與等比數(shù)列
分析:作特征方程x=
13x-25
x+3
,變形,得x2-10x+25=0,特征方程有兩個相同的特征根λ=5.由此結(jié)合已知條件能求出結(jié)果.
解答: 解:作特征方程x=
13x-25
x+3
,變形,得x2-10x+25=0,
特征方程有兩個相同的特征根λ=5,
(1)∵a1=5,∴a1=λ,
∴對于n∈N*,都有an=λ=5.
(2)∵a1=3,∴a1≠λ,
bn=
1
a1
+(n-1)•
1
13-1•5

=
1
3-5
+
n-1
8

=-
1
2
+
n-1
8

令bn=0,得n=5,故數(shù)列{an}從第5項起都不存在,
當(dāng)n≤4時,n∈N*時,an=
1
bn
+λ=
5n-17
n-5

(3)∵a1=6,∴a1≠λ,
bn=
1
a1
+
n-1
8
=1+
n-1
8
,
令bn=0,得n=7,
an=
1
bn
+λ=
1
1+
n-1
8
+5=
5n+43
n+7
,n∈N*
(4)a1=-3時,數(shù)列從第三項就不存在,a1=5時,{an}存在,
當(dāng)a1≠λ=5時,bn=
1
a1-5
+
n-1
8
,n∈N*
令bn=0,則a1=
5n-13
n-1
,n∈N*
,且n≥2,
∴當(dāng)a1=
5n-13
n-1
,n∈N*
,且n≥2時,數(shù)列{an}從第n項開始便不存在.
∴當(dāng)a1在集合{-3,或
5n-13
n-1
,n∈N*
,且n≥2}上取值時,無窮數(shù)列{an}都不存在.
點(diǎn)評:本題考查數(shù)列的通項公式的求法,解題時要認(rèn)真審題,注意特征方程和特征根的合理運(yùn)用.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

當(dāng)x∈(0,
π
6
)時,求函數(shù)f(x)=
cosx
1-sinx
的值域.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=xα,α∈{-1,
1
2
,1,2,3},若f(x)是區(qū)間(-∞,+∞)上的增函數(shù),則α的所有可能取值為( 。
A、{1,3}
B、{
1
2
,1,2,3}
C、{1,2,3}
D、{-1,
1
2
,1,2}

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖所示,A、B分別是單位圓與x軸、y軸正半軸的交點(diǎn),點(diǎn)P在單位圓上,∠AOP=θ(0<θ<π),點(diǎn)C坐標(biāo)為(-2,0),平行四邊形OAQP的面積為S.
(1)求t=
OA
OQ
+S
的最大值;
(2)若CB∥OP,求sin(2θ-
π
3
).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知在數(shù)列{an}中,an+2-3an+1+2an=2n恒成立,a1=0,a2=1.求證:an=(n-2)•2n-1+1對n∈N+恒成立.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

若0<a<1,則不等式a2x-7>a4x-2的解集是
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)f(x)=
lgx,x>0
10x,x≤0
,則f(x)<1的解集是
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

函數(shù)f(x)=[x]的函數(shù)值表示不超過x的最大整數(shù),例如,[-3.5]=-4,[2.1]=2.當(dāng)x∈(-2.5,3]時,函數(shù)f(x)的值域為(  )
A、{-2,-1,0,1,2}
B、{-3,-2,-1,0,1,2}
C、{-2,-1,0,1,2,3}
D、{-3,-2,-1,0,1,2,3}

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

判斷下列函數(shù)的奇偶性:
①f(x)=|x+2|-|x-2|;
②f(x)=|x+2|+|x-2|;
③f(x)=
1
2
[g(x)+g(-x)];
④f(x)=
1
2
[g(x)-g(-x)];
⑤f(x)=2x-lnax

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