Question

已知數(shù)列{a_n}滿足：對于n∈N，都有a_n+1=

13an-25

an+3

．
（1）若a₁=5，求a_n；
（2）若a₁=3，求a_n．
（3）若a₁=6，求a_n．
（4）當a₁取哪些值時，無窮數(shù)列{a_n}不存在？

Answer 1

考點：數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：作特征方程x=

13x-25

x+3

，變形，得x²-10x+25=0，特征方程有兩個相同的特征根λ=5．由此結合已知條件能求出結果．

解答： 解：作特征方程x=

13x-25

x+3

，變形，得x²-10x+25=0，
特征方程有兩個相同的特征根λ=5，
（1）∵a₁=5，∴a₁=λ，
∴對于n∈N^*，都有a_n=λ=5．
（2）∵a₁=3，∴a₁≠λ，
∴bn=

1

a1-λ

+(n-1)•

1

13-1•5

=

1

3-5

+

n-1

8

=-

1

2

+

n-1

8

，
令b_n=0，得n=5，故數(shù)列{a_n}從第5項起都不存在，
當n≤4時，n∈N^*時，an=

1

bn

+λ=

5n-17

n-5

（3）∵a₁=6，∴a₁≠λ，
∴bn=

1

a1-λ

+

n-1

8

=1+

n-1

8

，
令b_n=0，得n=7，
∴an=

1

bn

+λ=

1

1+ n-1 8

+5=

5n+43

n+7

，n∈N^*．
（4）a₁=-3時，數(shù)列從第三項就不存在，a₁=5時，{a_n}存在，
當a₁≠λ=5時，bn=

1

a1-5

+

n-1

8

，n∈N^*，
令b_n=0，則a₁=

5n-13

n-1

，n∈N*，且n≥2，
∴當a₁=

5n-13

n-1

，n∈N*，且n≥2時，數(shù)列{a_n}從第n項開始便不存在．
∴當a₁在集合{-3，或

5n-13

n-1

，n∈N*，且n≥2}上取值時，無窮數(shù)列{a_n}都不存在．

點評：本題考查數(shù)列的通項公式的求法，解題時要認真審題，注意特征方程和特征根的合理運用．