已知在數(shù)列{an}中,an+2-3an+1+2an=2n恒成立,a1=0,a2=1.求證:an=(n-2)•2n-1+1對(duì)n∈N+恒成立.
考點(diǎn):數(shù)列遞推式
專題:等差數(shù)列與等比數(shù)列
分析:若an+1與an的值確定,則an+2的值也是唯一的,滿足an+2-3an+1+2an=2n的每一項(xiàng)an都是唯一的,由此能求出an=(n-2)•2n-1+1對(duì)n∈N+恒成立.
解答: 證明:∵an+2-3an+1+2an=2n恒成立,
an+2=3an+1-2an+2n
若an+1與an的值確定,則an+2的值也是唯一的,
∵a1=0,a2=1,
∴滿足an+2-3an+1+2an=2n的每一項(xiàng)an都是唯一的,
將a1=0,a2=1代入an=(n-2)•2n-1+1成立,
將an+2-3an+1+2an=2n代入:
n×2n+1+1-3×(n-1)×2n-3+2×(n-2)×2n-1+2
=n×2n+1-3×n×2n+n×2n+2n
2n,
an=(n-2)•2n-1+1
∴an=(n-2)•2n-1+1對(duì)n∈N+恒成立.
點(diǎn)評(píng):本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的證明,是中檔題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ) 圖象的相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離等于
π
3
,cos(φ+
π
4
)=0,其中ω>0,|φ|<
π
2

(1)求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)求最小正實(shí)數(shù)m,使得函數(shù)f(x)的圖象向左平移m個(gè)單位后所對(duì)應(yīng)的函數(shù)是偶函數(shù).

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則已知角α滿足40°+k•360°<α<140°+k•360°(k∈Z),則
α
2
所在象限是
 

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已知數(shù)列{an}滿足:對(duì)于n∈N,都有an+1=
13an-25
an+3

(1)若a1=5,求an;
(2)若a1=3,求an
(3)若a1=6,求an
(4)當(dāng)a1取哪些值時(shí),無窮數(shù)列{an}不存在?

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已知數(shù)列an=
3(2n-1)
,則9是該數(shù)列的(  )
A、第12項(xiàng)B、第13項(xiàng)
C、第14項(xiàng)D、第15項(xiàng)

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已知m∈R時(shí),函數(shù)f(x)=m(x2-1)+x-a恒有零點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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等差數(shù)列{an}中a5+a6=4,則log2(2 a1•2 a2•2 a3•…•2a10)=( 。
A、10
B、20
C、40
D、2+log25

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