Question

3．在某學(xué)校進(jìn)行的一次語(yǔ)文與歷史成績(jī)中，隨機(jī)抽取了25位考生的成績(jī)進(jìn)行分析，25位考生的語(yǔ)文成績(jī)已經(jīng)統(tǒng)計(jì)在莖葉圖中，歷史成績(jī)?nèi)缦拢?br />85    52    64    49    55    71    90    66    46    66    39    61    56 
78    67    77    58    73    42    80    72    67    70    51    65
（Ⅰ）請(qǐng)根據(jù)數(shù)據(jù)在莖葉圖中完成歷史成績(jī)統(tǒng)計(jì)；
（Ⅱ）請(qǐng)根據(jù)數(shù)據(jù)完成語(yǔ)文成績(jī)的頻數(shù)分布表及語(yǔ)文成績(jī)的頻率分布直方圖；

語(yǔ)文成績(jī)的頻數(shù)分布表：

語(yǔ)文成績(jī)分組	[50，60）	[60，70）	[70，80）	[90，100）	[100，110）	[110，120]
頻數(shù)

（Ⅲ）設(shè)上述樣本中第i位考生的語(yǔ)文、歷史成績(jī)分別為x_i，y_i（i=1，2，…，25）．通過(guò)對(duì)樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行初步處理發(fā)現(xiàn)：語(yǔ)文、歷史成績(jī)具有線性相關(guān)關(guān)系，得到：
$\overline{x}$=$\frac{1}{25}$$\sum_{i=1}^{25}$x_i=86，$\overline{y}$=$\frac{1}{25}$$\sum_{i=1}^{25}$y_i=64，$\sum_{i=1}^{25}$（x_i-$\overline{x}$）（y_i-$\overline{y}$）=4698，$\sum_{i=1}^{25}$（x_i-$\overline{x}$）²=5524，$\frac{4698}{5524}$≈0.85．
①求y關(guān)于x的線性回歸方程；
②并據(jù)此預(yù)測(cè)，當(dāng)某考生的語(yǔ)文成績(jī)?yōu)?00分時(shí)，該生歷史成績(jī)．（精確到0.1分）
附：回歸直線方程的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)公式分別為：
$\widehat$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}•{y}_{i}-\overline{n}x•\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$，$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat$$\overline{x}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)題意，在莖葉圖中完成歷史成績(jī)統(tǒng)計(jì)即可；
（Ⅱ）根據(jù)數(shù)據(jù)完成語(yǔ)文成績(jī)的頻數(shù)分布表，填寫(xiě)語(yǔ)文成績(jī)的頻率分布直方圖；
（Ⅲ）由已知計(jì)算$\stackrel{∧}$、$\stackrel{∧}{a}$，寫(xiě)出線性回歸方程，利用回歸方程計(jì)算x=100時(shí)$\stackrel{∧}{y}$的值即可．

解答 解：（Ⅰ）根據(jù)題意，在莖葉圖中完成歷史成績(jī)統(tǒng)計(jì)，如圖所示；

（Ⅱ）根據(jù)數(shù)據(jù)完成語(yǔ)文成績(jī)的頻數(shù)分布表，如下；

語(yǔ)文成績(jī)分組	[50，60）	[60，70）	[70，80）	[80，90）	[90，100）	[100，110）	[110，120]
頻數(shù)	1	2	3	7	6	5	1

填寫(xiě)語(yǔ)文成績(jī)的頻率分布直方圖，如圖所示：

（Ⅲ）由已知得$\stackrel{∧}$=0.85，$\stackrel{∧}{a}$=64-0.85×86=-9.1，
所以y關(guān)于x的線性回歸方程為$\stackrel{∧}{y}$=0.85x-9.1；
且當(dāng)x=100時(shí)，得$\stackrel{∧}{y}$=0.85×100-9.1=75.9≈76，
即當(dāng)考生的語(yǔ)文成績(jī)?yōu)?00時(shí)，歷史成績(jī)?yōu)?6分．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了頻率分布直方圖的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了線性回歸方程的計(jì)算與應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題目．