Question

12．在銳角△ABC中，若A=2B，則$\frac{a}$的范圍是（　　）

• A． （$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$）
• B． （$\sqrt{3}$，2）
• C． （0，2）
• D． （$\sqrt{2}$，2）

Answer 1

分析 利用正弦定理列出關(guān)系式，將A=2B代入，利用二倍角的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，約分得到結(jié)果為2cosB，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理及三角形ABC為銳角三角形，求出B的范圍，進(jìn)而確定出cosB的范圍，即可得出所求式子的范圍．

解答 解：∵A=2B，
∴根據(jù)正弦定理$\frac{a}{sinA}$=$\frac{sinB}$得：$\frac{a}$=$\frac{sinA}{sinB}$═$\frac{2sinBcosB}{sinB}$=2cosB，
∵A+B+C=180°，
∴3B+C=180°，即C=180°-3B，
∵C為銳角，
∴30°＜B＜60°，
又0°＜A=2B＜90°，
∴30°＜B＜45°，
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜cosB＜$\frac{\sqrt{3}}{2}$，即$\sqrt{2}$＜2cosB＜$\sqrt{3}$，
則$\frac{a}$的取值范圍是（$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$）．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正弦定理，余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握正弦定理是解本題的關(guān)鍵．