Question

15．在如圖所示的多面體中，面ABCD是平行四邊形，四邊形BDEF是矩形．
（1）求證：AE∥平面BFC
（2）若AD⊥DE，AD=DE=1，AB=2，∠BDA=60°，求三棱錐F-AEC的體積．

Answer 1

分析 （1）推導(dǎo)出AD∥BC，從而AD∥平面BCF，推導(dǎo)出DE∥BF，從而DE∥平面BCF，進(jìn)而平面ADE∥平面BCF，由此能證明AE∥平面BCF．
（2）設(shè)AC∩BD=O，則O為AC中點(diǎn)，連結(jié)OE，OF，則V_F-ABC=V_C-AEF=2V_O-AEF=2V_A-OEF，由此能求出三棱錐F-AEC的體積．

解答 證明：（1）∵面ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，
∵AD?平面BCF，BC?平面BCF，
∴AD∥平面BCF，
∵四邊形BDEF是矩形，∴DE∥BF，
∵DE?平面BCF，BF?平面BCF，
∴DE∥平面BCF，
∵AD∩DE=D，AD?平面ADE，DE?平面ADE，
∴平面ADE∥平面BCF，
∵AE?平面ADE，∴AE∥平面BCF．
解：（2）設(shè)AC∩BD=O，則O為AC中點(diǎn)，連結(jié)OE，OF，
則V_F-ABC=V_C-AEF=2V_O-AEF=2V_A-OEF，
在△ABD中，∠BAD=60°，AD=1，AB=2，
由余弦定理得BD²=AB²+AD²-2AB•AD•cos∠BAD，
∴BD=$\sqrt{3}$，
∴AB²=AD²+BD²，∴AD⊥BD，
∵DE⊥AD，BD∩DE=D，BD?平面BDEF，DE?平面BDEF，
∴AD⊥平面BDEF，
故AD為A到平面BDEF的距離，
∵DE=1，∴S_△OEF=$\frac{1}{2}{S}_{四邊形BDEF}$=$\frac{1}{2}×OD×EE=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴V_A-OEF=$\frac{1}{3}{S}_{△OEF}•AD$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$，
∴三棱錐F-AEC的體積V_F-AEC=2V_A-OEF=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查幾何體的體積及直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、空間想象能力，考查化歸轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．