已知曲線C：x2=4y與橢圓E交于點P，點P在第一象限，橢圓E的兩個焦點分別為F1（0，1），F(xiàn)2（0，-1），|PF1|=
5
3
，直線l與橢圓E交于A、B兩點，若AB的中點M在曲線C上，求直線l的斜率k的取值范圍．
考點：直線與圓錐曲線的綜合問題
專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題
分析：由已知條件，求出P點坐標，從而求出OP的斜率，設曲線C與曲線E的另一個交點為P′，由拋物線和橢圓的對稱性求出OP′的斜率，由此能求出直線l的斜率k的取值范圍．
解答： 解：由題意知|PF1|=yP+1=
5
3
，
∴yP=
2
3
，∴xP=
4yP
=
2
6
3
，
∵AB的中點M在曲線C上，∴直線A原點，
∵kOP=
yP
xP
=
2
3
2
6
3
=
6
6
，
設曲線C與曲線E的另一個交點為P′，
由拋物線和橢圓的對稱性知：kOP′=-kOP=-
6
6
，
∴l(xiāng)的斜率k的取值范圍是[-
6
6
，
6
6
]．
點評：本題考查直線的斜率的取值范圍的求法，是中檔題，解題時要注意圓錐曲線的對稱性的合理運用．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

有下列命題：
①已知函數(shù)f（x）為連續(xù)可導函數(shù)，若f（x）為奇函數(shù)，則f（x）的導函數(shù)f′（x）為偶函數(shù)；
②若函數(shù)f（x）=x2，則f′（2x）=[f（2x）]′；
③若函數(shù)g（x）=（x-1）（x-2）…（x-5）（x-6），則g′（6）=120；
④若三次函數(shù)f（x）=ax3+bx2+cx+d，則“a+b+c=0”是“f（x）有極值”的充要條件．
其中真命題的序號是
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

若x、y滿足條件
3x-5y+6≥0
2x+3y-15≤0
y≥0
，當且僅當x=y=3時，z=ax-y取最小值，則實數(shù)a的取值范圍是（　�。�
A、(-
2
3
，
3
5
)
B、(-
2
3
，
3
4
)
C、(-
3
4
，
2
3
)
D、(
3
4
，
3
5
)

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知直線y=k（x+2）與雙曲線
x2
m
-
y2
8
=1，有如下信息：聯(lián)立方程組：
y=k(x+2)
x2
m
-
y2
8
=1
消去y后得到方程Ax2+Bx+C=0，分類討論：
（1）當A=0時，該方程恒有一解；
（2）當A≠0時，△=B2-4AC≥0恒成立．在滿足所提供信息的前提下，雙曲線離心率的取值范圍是（　　）
A、（1，
3
]
B、[
3
，+∞）
C、（1，2]
D、[2，+∞）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

下列說法：①2013年考入清華大學的性格外向的學生能組成一個集合；②空集∅⊆{0}；③數(shù)集{2x，x2-x}中，實數(shù)x的取值范圍是{x|x≠0}．其中正確的個數(shù)是（　�。�
A、3B、2C、1D、0

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在平面直角坐標系xOy中，動點p（x，y）（x≥0）滿足：點p到定點F（
1
2
，0）與到y(tǒng)軸的距離之差為
1
2
．記動點p的軌跡為曲線C．
（1）求曲線C的軌跡方程；
（2）過點F的直線交曲線C于A、B兩點，過點A和原點O的直線交直線x=-
1
2
于點D，求證：直線DB平行于x軸．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1 (a＞b＞0)的右頂點為A（2，0），點P（2e，
1
2
）在橢圓上（e為橢圓的離心率）．
（1）求橢圓的方程；
（2）若點B，C（C在第一象限）都在橢圓上，滿足
OC
=λ
BA
，且
OC
•
OB
=0，求實數(shù)λ的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖所示，已知雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1，A、B為雙曲線的兩個頂點．
（1）當a=2，b=
3
，直線l：y=x-4與雙曲線交于C、D兩點，求線段CD的長度；
（2）在x軸上是否存在這樣一個定點M（λ，0），過M的直線與雙曲線有兩個交點C、D，并且無論怎么旋轉直線CD（在保證直線和雙曲線有兩個交點的前提下），始終CA⊥AD．如果存在，請求出λ的值；如果不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C1：
x2
a
2
1
+y2=1(a1＞1)與C2：y2+
x2
a
2
2
=1(0＜a2＜1)的離心率相等．直線l：y=m（0＜m＜1）與曲線C1交于A，D兩點（A在D的左側），與曲線C2交于B，C兩點（B在C的左側），O為坐標原點，N（0，-1）．
（Ⅰ）當m=
3
2
，|AC|=
5
4
時，求橢圓C1，C2的方程；
（Ⅱ）若2
ND
•
AD
=|
ND
|•|
AD
|，且△AND和△BOC相似，求m的值．

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