Question

有下列命題：
①已知函數(shù)f（x）為連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)，若f（x）為奇函數(shù)，則f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′（x）為偶函數(shù)；
②若函數(shù)f（x）=x²，則f′（2x）=[f（2x）]′；
③若函數(shù)g（x）=（x-1）（x-2）…（x-5）（x-6），則g′（6）=120；
④若三次函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+d，則“a+b+c=0”是“f（x）有極值”的充要條件．
其中真命題的序號是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：①利用奇偶函數(shù)的性質(zhì)和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則即可得出；
②利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則即可得出；
③利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則即可得出；
④利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則可得f′（x）=3ax²+2bx+c．函數(shù)三次函數(shù)f（x）有極值?f′（x）=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根?△＞0即b²＞3ac．而a+b+c=0⇒b²-3ac＞0，反之不成立．即可判斷出．

解答： 解：①∵函數(shù)f（x）為連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)，f（x）為奇函數(shù)，
∴f（-x）=-f（x），兩邊求導(dǎo)可得-f′（-x）=-f′（x），
∴f′（-x）=f′（x），∴f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′（x）為偶函數(shù)；
因此正確．
②函數(shù)f（x）=x²，則f′（2x）=2[f（2x）]′，因此②不正確；
③∵函數(shù)g（x）=（x-1）（x-2）…（x-5）（x-6），
∴g′（x）=（x-2）…（x-5）（x-6）+（x-1）（x-3）…（x-6）+…+（x-1）（x-2）…（x-5），
則g′（6）=0+（6-1）×（6-2）×…×（6-5）=120，因此正確；
④三次函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+d，f′（x）=3ax²+2bx+c，
若函數(shù)三次函數(shù)f（x）有極值，則f′（x）=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
∴△=4b²-12ac＞0，化為b²＞3ac．
當(dāng)a+b+c=0時(shí)，b²-3ac=（a+c）²-3ac=(a-

1

2

c)2+

3

4

c2＞0（否則a=c=0，與題意矛盾）．反之不成立．
因此“a+b+c=0”是“f（x）有極值”的充分但不必要條件．
因此④不正確．
綜上可知：只有①③正確．
故答案為：①③．

點(diǎn)評：本題考查了導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值、一元二次方程的判別式與實(shí)數(shù)根的關(guān)系、充分必要條件等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．