Question

已知函數(shù)f(x)＝alnx＋bx2圖象上點P(1，f(1))處的切線方程為2x－y－3＝0．

(1)求函數(shù)y＝f(x)的解析式；

(2)函數(shù)g(x)＝f(x)＋m－ln4，若方程g(x)＝0在[，2]上恰有兩解，求實數(shù)m的取值范圍．

 

Answer 1

(1) f(x)＝4lnx－x2 ；(2) 2<m≤4－2ln2．

【解析】

試題分析：(1)由切線方程知圖像過，求導后，由題可得，分別代函數(shù)與導函數(shù)表達式，解可得；(2)由(1)得g(x)＝4lnx－x2＋m－ln4，即方程m＝x2－4lnx＋ln4，在上恰有兩解，令

h(x)＝x2－4lnx＋ln4，由導函數(shù)得在上遞減，在(，2)上遞增，可得2< h(x)≤4－2ln2，即2<m≤4－2ln2．

【解析】
(1)∵點P(1，f(1))在切線2x－y－3＝0上，

∴2－f(1)－3＝0，

∴f(1)＝－1，故b＝－1， 2分

又，∴f ′(1)＝a＋2b＝2，∴a＝4，

∴f(x)＝4lnx－x2． 4分

(2)g(x)＝4lnx－x2＋m－ln4

由g(x)＝0得：m＝x2－4lnx＋ln4，此方程在上恰有兩解， 6分

記h(x)＝x2－4lnx＋ln4，則

, 8分

由h′(x)＝0得：x＝∈，

在 上，h′(x)<0，h(x)單調(diào)遞減，

在(，2)上，h′(x)>0，h(x)單調(diào)遞增， 10分

又h()＝＋4＋2ln2，h()＝2－4ln＋2ln2＝2，

h(2)＝4－4ln2＋2ln2＝4－2ln2，

∵h()≥h(2)，∴2<m≤4－2ln2． 13分

考點：導數(shù)的幾何意義，利用導數(shù)求函數(shù)的值域．