Question

已知函數(shù)，且f（1）=2
（1）求實數(shù)a的值；
（2）判斷f（x）的奇偶性；
（3）判斷函數(shù)f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)還是減函數(shù)？并用定義證明．

Answer 1

【答案】分析：（1）求實數(shù)a的值，由f（1）=2即可求得；
（2）判斷f（x）的奇偶性可利用f（x）+f（-x）=0證明其為奇函數(shù)；
（3）先判斷出其在（1，+∞）上是增函數(shù)，再利用定義法證明．
解答：解：（1）由題意f（1）=1+a=2，∴a=1
（2）f（x）是奇函數(shù)，因為，故其是奇函數(shù)；
（3）函數(shù)f（x）在（1，+∞）上是單調增函數(shù)，下用定義法證明
作取x₁，x₂∈（1，+∞），且x₁＜x₂
f（x₁）-f（x₂）=x₁-x₂+=（x₁-x₂）（1-）
∵1＜x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0，1-＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0
即函數(shù)f（x）在（1，+∞）上是單調增函數(shù)，
點評：本題考查函數(shù)的奇偶性與單調性，求解本題的關鍵是掌握函數(shù)奇偶性的判斷方法以及函數(shù)單調性的證明方法定義法．屬于考查基本概念的題型．