Question

3．已知F是拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）若M，N是拋物線C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，OM，ON的傾斜角分別為θ₁，θ₂，且θ₁+θ₂=$\frac{π}{3}$，求證：直線MN恒過(guò)定點(diǎn)；
（2）拋物線C上是否存在點(diǎn)P，使得$\frac{OP}{FP}$達(dá)到最大值，如果存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），直線MN的方程為y=kx+m，將直線方程與y²=2px聯(lián)立，消去x，由韋達(dá)定理知y₁+y₂，y₁y₂．通過(guò)θ₁+θ₂=$\frac{π}{3}$時(shí)，利用直線的斜率以及兩角和的正切函數(shù)，推出m，k的關(guān)系，得到直線MN恒過(guò)定點(diǎn)；
（2）假設(shè)存在點(diǎn)P，使得$\frac{OP}{FP}$達(dá)到最大值．設(shè)P（$\frac{{m}^{2}}{2p}$，m），由拋物線的定義，再令t=$\frac{{m}^{2}}{2p}$+$\frac{p}{2}$，t＞$\frac{p}{2}$，可得m²=2p（t-$\frac{p}{2}$）=2pt-p²，再由配方和二次函數(shù)的最值的求法，即可得到最大值，即可判斷．

解答 （1）證明：設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），y²=2px，
由題意得x₁≠x₂且x₁，x₂≠0，
所以直線AB的斜率存在，設(shè)其方程為y=kx+m，
則x₁=$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{2p}$，x₂=$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{2p}$，
將y=kx+m與y²=2px聯(lián)立消去x，得：ky²-2py+2pm=0．
則：y₁+y₂=$\frac{2p}{k}$，y₁y₂=$\frac{2pm}{k}$，
OM，ON的傾斜角分別為θ₁、θ₂，且θ₁+θ₂=$\frac{π}{3}$，
又tanθ₁=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$=$\frac{2p}{{y}_{1}}$，tanθ₂=$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}}$=$\frac{2p}{{y}_{2}}$，
所以，$\sqrt{3}$=tan（θ₁+θ₂）=$\frac{tan{θ}_{1}+tan{θ}_{2}}{1-tan{θ}_{1}tan{θ}_{2}}$
=$\frac{\frac{2p}{{y}_{1}}+\frac{2p}{{y}_{2}}}{1-\frac{4{p}^{2}}{{y}_{1}{y}_{2}}}$=$\frac{2p（{y}_{1}+{y}_{2}）}{{y}_{1}{y}_{2}-4{p}^{2}}$=$\frac{2p•\frac{2p}{k}}{\frac{2pm}{k}-4{p}^{2}}$=$\frac{2p}{m-2pk}$．
即m=2pk-$\frac{2p}{\sqrt{3}}$，
直線MN的方程為y=kx+2pk-$\frac{2p}{\sqrt{3}}$，即y+$\frac{2p}{\sqrt{3}}$=k（x+2p），
所以直線MN恒過(guò)定點(diǎn)（-2p，-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$p）；
（2）假設(shè)存在點(diǎn)P，使得$\frac{OP}{FP}$達(dá)到最大值．
設(shè)P（$\frac{{m}^{2}}{2p}$，m），由拋物線的定義可得|PF|=$\frac{{m}^{2}}{2p}$+$\frac{p}{2}$，
$\frac{|OP|}{|PF|}$=$\frac{\sqrt{{m}^{2}+\frac{{m}^{4}}{4{p}^{2}}}}{\frac{{m}^{2}}{2p}+\frac{p}{2}}$，
令t=$\frac{{m}^{2}}{2p}$+$\frac{p}{2}$，t＞$\frac{p}{2}$，可得m²=2p（t-$\frac{p}{2}$）=2pt-p²，
即有$\frac{|OP|}{|PF|}$=$\sqrt{\frac{{t}^{2}+pt-\frac{3}{4}{p}^{2}}{{t}^{2}}}$=$\sqrt{-\frac{3}{4}•\frac{{p}^{2}}{{t}^{2}}+\frac{p}{t}+1}$
=$\sqrt{-\frac{3}{4}（\frac{p}{t}-\frac{2}{3}）^{2}+\frac{4}{3}}$，當(dāng)$\frac{p}{t}$=$\frac{2}{3}$即t=$\frac{3}{2}$p＞$\frac{1}{2}$p，即有m=±$\sqrt{2}$p，
取得最大值$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故存在點(diǎn)P（p，±$\sqrt{2}$p），使得$\frac{OP}{FP}$達(dá)到最大值．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的定義、方程和性質(zhì)，考查直線恒過(guò)定點(diǎn)的證明，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用，換元法的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．