3.已知F是拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)若M,N是拋物線C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),OM,ON的傾斜角分別為θ1,θ2,且θ12=$\frac{π}{3}$,求證:直線MN恒過(guò)定點(diǎn);
(2)拋物線C上是否存在點(diǎn)P,使得$\frac{OP}{FP}$達(dá)到最大值,如果存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

分析 (1)設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),直線MN的方程為y=kx+m,將直線方程與y2=2px聯(lián)立,消去x,由韋達(dá)定理知y1+y2,y1y2.通過(guò)θ12=$\frac{π}{3}$時(shí),利用直線的斜率以及兩角和的正切函數(shù),推出m,k的關(guān)系,得到直線MN恒過(guò)定點(diǎn);
(2)假設(shè)存在點(diǎn)P,使得$\frac{OP}{FP}$達(dá)到最大值.設(shè)P($\frac{{m}^{2}}{2p}$,m),由拋物線的定義,再令t=$\frac{{m}^{2}}{2p}$+$\frac{p}{2}$,t>$\frac{p}{2}$,可得m2=2p(t-$\frac{p}{2}$)=2pt-p2,再由配方和二次函數(shù)的最值的求法,即可得到最大值,即可判斷.

解答 (1)證明:設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),y2=2px,
由題意得x1≠x2且x1,x2≠0,
所以直線AB的斜率存在,設(shè)其方程為y=kx+m,
則x1=$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{2p}$,x2=$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{2p}$,
將y=kx+m與y2=2px聯(lián)立消去x,得:ky2-2py+2pm=0.
則:y1+y2=$\frac{2p}{k}$,y1y2=$\frac{2pm}{k}$,
OM,ON的傾斜角分別為θ1、θ2,且θ12=$\frac{π}{3}$,
又tanθ1=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$=$\frac{2p}{{y}_{1}}$,tanθ2=$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}}$=$\frac{2p}{{y}_{2}}$,
所以,$\sqrt{3}$=tan(θ12)=$\frac{tan{θ}_{1}+tan{θ}_{2}}{1-tan{θ}_{1}tan{θ}_{2}}$
=$\frac{\frac{2p}{{y}_{1}}+\frac{2p}{{y}_{2}}}{1-\frac{4{p}^{2}}{{y}_{1}{y}_{2}}}$=$\frac{2p({y}_{1}+{y}_{2})}{{y}_{1}{y}_{2}-4{p}^{2}}$=$\frac{2p•\frac{2p}{k}}{\frac{2pm}{k}-4{p}^{2}}$=$\frac{2p}{m-2pk}$.
即m=2pk-$\frac{2p}{\sqrt{3}}$,
直線MN的方程為y=kx+2pk-$\frac{2p}{\sqrt{3}}$,即y+$\frac{2p}{\sqrt{3}}$=k(x+2p),
所以直線MN恒過(guò)定點(diǎn)(-2p,-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$p);
(2)假設(shè)存在點(diǎn)P,使得$\frac{OP}{FP}$達(dá)到最大值.
設(shè)P($\frac{{m}^{2}}{2p}$,m),由拋物線的定義可得|PF|=$\frac{{m}^{2}}{2p}$+$\frac{p}{2}$,
$\frac{|OP|}{|PF|}$=$\frac{\sqrt{{m}^{2}+\frac{{m}^{4}}{4{p}^{2}}}}{\frac{{m}^{2}}{2p}+\frac{p}{2}}$,
令t=$\frac{{m}^{2}}{2p}$+$\frac{p}{2}$,t>$\frac{p}{2}$,可得m2=2p(t-$\frac{p}{2}$)=2pt-p2,
即有$\frac{|OP|}{|PF|}$=$\sqrt{\frac{{t}^{2}+pt-\frac{3}{4}{p}^{2}}{{t}^{2}}}$=$\sqrt{-\frac{3}{4}•\frac{{p}^{2}}{{t}^{2}}+\frac{p}{t}+1}$
=$\sqrt{-\frac{3}{4}(\frac{p}{t}-\frac{2}{3})^{2}+\frac{4}{3}}$,當(dāng)$\frac{p}{t}$=$\frac{2}{3}$即t=$\frac{3}{2}$p>$\frac{1}{2}$p,即有m=±$\sqrt{2}$p,
取得最大值$\frac{2\sqrt{3}}{3}$.
故存在點(diǎn)P(p,±$\sqrt{2}$p),使得$\frac{OP}{FP}$達(dá)到最大值.

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的定義、方程和性質(zhì),考查直線恒過(guò)定點(diǎn)的證明,并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo),解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用,換元法的運(yùn)用,考查運(yùn)算能力,屬于中檔題.

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