Question

18．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，（a＞b＞0）過點(diǎn)P（-2$\sqrt{3}$，1），且離心率e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，過右焦點(diǎn)F的直線l交橢圓于M，N兩點(diǎn)．
（1）求橢圓的方程；
（2）若4S_△PMF•S_△PNF=S_△PMN，求此時(shí)直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）由題意可得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{\frac{12}{{a}^{2}}+\frac{1}{^{2}}=1}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a，b，c，即可得出．
（2）4S_△PMF•S_△PNF=S_△PMN，可得：2d|NF||MF|=|NF|+|MF|，設(shè)直線l的方程為：y=k（x-2$\sqrt{3}$），可得：點(diǎn)P（-2$\sqrt{3}$，1）到直線l的距離d=$\frac{|4\sqrt{3}k+1|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$．直線方程與橢圓方程聯(lián)立化為（1+4k²）x²-$16\sqrt{3}{k}^{2}$x+48k²-16=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得：|NF|=4-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x₁，|MF|=4-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x₂，代入化簡可得：k，即可得出．

解答 解：（1）由題意可得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{\frac{12}{{a}^{2}}+\frac{1}{^{2}}=1}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=4，b=2，c=2$\sqrt{3}$．
∴橢圓的方程為：$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{4}$=1．
（2）設(shè)直線l的方程為：y=k（x-2$\sqrt{3}$），
則點(diǎn)P（-2$\sqrt{3}$，1）到直線l的距離d=$\frac{|-4\sqrt{3}k-1|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-2\sqrt{3}）}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=16}\end{array}\right.$，化為（1+4k²）x²-$16\sqrt{3}{k}^{2}$x+48k²-16=0，
∴x₁+x₂=$\frac{16\sqrt{3}{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{48{k}^{2}-16}{1+4{k}^{2}}$．
|NF|=4-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x₁，|MF|=4-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x₂，
∴|NF|+|MF|=8-$\frac{\sqrt{3}}{2}$（x₁+x₂）=$\frac{8+8{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，
2d|NF||MF|=2×$\frac{|-4\sqrt{3}k-1|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$×（4-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x₁）（4-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x₂）=2×$\frac{|-4\sqrt{3}k-1|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$×$[16+\frac{3}{4}{x}_{1}{x}_{2}-2\sqrt{3}（{x}_{1}+{x}_{2}）]$=2×$\frac{|-4\sqrt{3}k-1|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$×$\frac{4+4{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$．
∵4S_△PMF•S_△PNF=S_△PMN，
∴2d|NF||MF|=|NF|+|MF|，
∴$\frac{|4\sqrt{3}k+1|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=1，解得k=0或$-\frac{8\sqrt{3}}{47}$，
此時(shí)直線l的方程為：y=0或y=-$\frac{8\sqrt{3}}{47}$（x-2$\sqrt{3}$）．

點(diǎn)評 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、圓的性質(zhì)、斜率計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．