Question

9．交通指數(shù)是交通擁堵指數(shù)的簡(jiǎn)稱，是綜合反映道路網(wǎng)暢通或擁堵的概念，記交通指數(shù)為T，其范圍為[0，10]，分為五個(gè)級(jí)別，T∈[0，2）暢通；T∈[2，4）基本暢通；T∈[4，6）輕度擁堵；T∈[6，8）中度擁堵；T∈[8，10]嚴(yán)重?fù)矶拢�早高峰時(shí)段（T≥3），從某市交通指揮中心隨機(jī)選取了三環(huán)以內(nèi)的50個(gè)交通路段，依據(jù)其交通指數(shù)數(shù)據(jù)繪制的頻率分布直方圖如右圖．
（Ⅰ）這50個(gè)路段為中度擁堵的有多少個(gè)？
（Ⅱ）據(jù)此估計(jì)，早高峰三環(huán)以內(nèi)的三個(gè)路段至少有一個(gè)是嚴(yán)重?fù)矶碌母怕适嵌嗌伲?br />（III）某人上班路上所用時(shí)間若暢通時(shí)為20分鐘，基本暢通為30分鐘，輕度擁堵為36分鐘；中度擁堵為42分鐘；嚴(yán)重?fù)矶聻?0分鐘，求此人所用時(shí)間的數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用（0.2+0.16）×1×50即可得出這50路段為中度擁堵的個(gè)數(shù)．
（Ⅱ）設(shè)事件A“一個(gè)路段嚴(yán)重?fù)矶隆保瑒tP（A）=0.1，事件B 至少一個(gè)路段嚴(yán)重?fù)矶隆保瑒tP$（\overline{B}）$=（1-P（A））³．P（B）=1-P（$\overline{B}$）=0.271，可得三個(gè)路段至少有一個(gè)是嚴(yán)重?fù)矶碌母怕剩?br />（III）利用頻率分布直方圖即可得出分布列，進(jìn)而得出數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（Ⅰ）（0.2+0.16）×1×50=18，這50路段為中度擁堵的有18個(gè)．
（Ⅱ）設(shè)事件A“一個(gè)路段嚴(yán)重?fù)矶隆�，則P（A）=0.1，
事件B 至少一個(gè)路段嚴(yán)重?fù)矶隆�，則P$（\overline{B}）$=（1-P（A））³=0.729．
P（B）=1-P（$\overline{B}$）=0.271，所以三個(gè)路段至少有一個(gè)是嚴(yán)重?fù)矶碌母怕适?.271．
（III）由頻率分布直方圖可得：分布列如下表：

X	30	36	42	60
P	0.1	0.44	0.36	0.1

E（X）=30×0.1+36×0.44+42×0.36+60×0.1=39.96．
此人經(jīng)過(guò)該路段所用時(shí)間的數(shù)學(xué)期望是39.96分鐘．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了頻率分布直方圖的應(yīng)用、互斥事件的概率計(jì)算公式、數(shù)學(xué)期望，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．