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精英家教網如圖,在四棱錐S-ABCD中,底面ABCD是邊長為2的正方形,側棱SD=2,SA=2
2
,∠SDC=120°.
(1)求證:側面SDC⊥底面ABCD;
(2)求側棱SB與底面ABCD所成角的正弦值.
分析:(1)由SD=2,SA=2
2
,得AD⊥SD,又AD⊥CD,由線面垂直的判定得AD⊥側面SDC,進而由面面垂直的判定得側面SDC⊥底面ABCD;
(2)過點S作直線CD的垂線交CD的延長線于點E,由(1)知SE⊥底面ABCD,從而∠SBE是側棱SB與底面ABCD所成角.
解答:(1)證明:∵SD=2,SA=2
2
,
∴AD⊥SD,又AD⊥CD,CD?側面SDC,SD?側面SDC,
且SD∩CD=D,
∴AD⊥側面SDC.
又AD?底面ABCD,故側面SDC⊥底面ABCD.(7分)
(2)解:如圖,過點S作直線CD的垂線交CD的延長線于點E,
由(1)可知SE⊥底面ABCD,則∠SBE是側棱SB與底面ABCD所成角.
∵∠SDC=120°,
∴∠SDE=60°,又SD=2,
SE=
3
,DE=1

BE=
32+22
=
13
,
故SB=4.
sin∠SBE=
SE
BE
=
3
4

故側棱SB與底面ABCD所成角的正弦值為
3
4
.(14分)
點評:本題主要考查線面垂直與面面垂直之間的相互轉化以及線面角的求法.
練習冊系列答案
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科目:高中數學 來源: 題型:

精英家教網如圖,在四棱錐S-ABCD中,AD∥BC且AD⊥CD;平面CSD⊥平面ABCD,CS⊥DS,CS=2AD=2;E為BS的中點,CE=
2
,AS=
3
,求:
(Ⅰ)點A到平面BCS的距離;
(Ⅱ)二面角E-CD-A的大。

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科目:高中數學 來源: 題型:

精英家教網如圖,在四棱錐S-ABCD中,底面ABCD為正方形,側棱SD⊥底面ABCD,E、F分別是AB、SC的中點
(1)求證:EF∥平面SAD
(2)設SD=2CD,求二面角A-EF-D的大。

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科目:高中數學 來源: 題型:

精英家教網如圖,在四棱錐S-ABCD中,SA⊥底面ABCD,∠BAD=∠ABC=90°,SA=AB=AD=
1
3
BC=1
,E為SD的中點.
(1)若F為底面BC邊上的一點,且BF=
1
6
BC
,求證:EF∥平面SAB;
(2)底面BC邊上是否存在一點G,使得二面角S-DG-A的正切值為
2
?若存在,求出G點位置;若不存在,說明理由.

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科目:高中數學 來源: 題型:

如圖,在四棱錐S-ABCD中,底面ABCD為正方形,側棱SD⊥底面ABCD,E,F分別為AB,SC的中點.
(1)證明EF∥平面SAD;
(2)設SD=2DC,求二面角A-EF-D的余弦值.

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科目:高中數學 來源: 題型:

如圖,在四棱錐S-ABCD中,平面SAD⊥平面ABCD.底面ABCD為矩形,AD=
2
a,AB=
3
a
,SA=SD=a.
(Ⅰ)求證:CD⊥SA;
(Ⅱ)求二面角C-SA-D的大。

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