Question

（2006•海淀區(qū)二模）正四棱錐S-ABCD內(nèi)接于球O；過(guò)球心O的一個(gè)截面如圖，棱錐的底面邊長(zhǎng)為a，則SC與底面ABCD所成角的大小為

π

4

，球O的表面積為

2πa²

．

Answer 1

分析：由題意可知正四棱錐的底面對(duì)角線就是球的直徑，求出底面對(duì)角線長(zhǎng)，即可求出球的半徑，確定直線與平面所成角求解即可，然后求出球的表面積．

解答：解：根據(jù)正四棱錐S-ABCD內(nèi)接于球O，過(guò)球心O的一個(gè)截面如圖，
可知正四棱錐S-ABCD的底面對(duì)角線AC經(jīng)過(guò)球心，對(duì)角線長(zhǎng)等于球的直徑，
∵棱錐的底面邊長(zhǎng)為a，
∴底面對(duì)角線長(zhǎng)為：

2

a，球的半徑為：

2

2

a，
SC與底面ABCD所成角的大小為：∠SCO=

π

4

．
∴球的表面積為：4π（

2

2

a）²=2πa²，
故答案為：

π

4

；  2πa²

點(diǎn)評(píng)：本題考查球的內(nèi)接多面體，球的表面積及相關(guān)計(jì)算，考查空間想象力，本題的突破口在正確處理截面圖形，明確球的直徑就是棱錐的底面對(duì)角線是解題的關(guān)鍵．