Question

在△ABC中，角A、B、C所對(duì)應(yīng)的邊為a，b，c
（1）若cos(

π

3

-A)=2cosA，求A的值；
（2）若cosA=

1

3

，且△ABC的面積S=

2

c2，求sinC的值．

Answer 1

分析：（1）已知等式利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡(jiǎn)，整理后求出tanA的值，即可確定出A的度數(shù)；
（2）法1：由cosA的值，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出sinA的值，利用三角形面積公式表示出三角形ABC面積，將已知面積與sinA的值代入得到b=3c，再利用余弦定理列出關(guān)系式，將b=3c及cosA的值代入得到a=2

2

c，最后利用正弦定理即可求出sinC的值；
法2：由cosA的值，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出sinA的值，利用三角形面積公式表示出三角形ABC面積，將已知面積與sinA的值代入得到b=3c，再利用余弦定理列出關(guān)系式，將b=3c及cosA的值代入得到a=2

2

c，最后利用余弦定理及銳角三角函數(shù)定義即可求出sinC的值．

解答：解：（1）∵cos（

π

3

-A）=2cosA，即

1

2

cosA+

3

2

sinA=2cosA，
∴

3

sinA=3cosA，即tanA=

3

，
∵0＜A＜π，∴A=

π

3

；
（2）法1：∵cosA=

1

3

，且A為三角形內(nèi)角，
∴sinA=

1-cos2A

=

2 2

3

，
∵S=

2

c²=

1

2

bcsinA=

2

3

bc，
∴b=3c，
由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA=9c²+c²-2c²=8c²，
∴a=2

2

c，
由正弦定理得

a

sinA

=

c

sinC

，即

2 2 c

sinA

=

c

sinC

，得到sinC=

sinA

2 2

=

2 2 3

2 2

=

1

3

；
法2：∵cosA=

1

3

，且A為三角形內(nèi)角，
∴sinA=

1-cos2A

=

2 2

3

，
∵S=

2

c²=

1

2

bcsinA=

2

3

bc，
∴b=3c，
由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA=9c²+c²-2c²=8c²，
∴a=2

2

c，
∵a²+c²=8c²+c²=9c²=b²，
∴△ABC是Rt△，角B為直角，
∴sinC=

c

b

=

1

3

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了正弦、余弦定理，三角形的面積公式，同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．