Question

平面上有n(n≥2)條拋物線,其中每?jī)蓷l都相交于兩點(diǎn),并且每三條都不相交于同一點(diǎn),試求這n條拋物線把平面分成多少個(gè)部分?

Answer 1

解:當(dāng)n=2時(shí),兩條相交拋物線把平面分成5部分,記f(2)=5=2²+1;?

當(dāng)n=3時(shí),f(3)=10=3²+1;?

當(dāng)n=4時(shí),f(4)=17=4²+1;?

當(dāng)n=5時(shí),f(5)=26=5²+1;?

歸納猜想:f(n)=n²+1(n≥2).

設(shè)n條拋物線將平面分成f(n)個(gè)部分;有(n+1)條拋物線時(shí),由于第n+1條拋物線與前n條拋物線共有2n個(gè)交點(diǎn),這2n個(gè)交點(diǎn)將第n+1條拋物線共分成2n+1段,而每一段都把原來(lái)所在的部分分成了兩部分,從而增加了2n+1個(gè)部分,?

∴f(n+1)=f(n)+2n+1(n≥2).?

∴f(3)=f(2)+5,?

f(4)=f(3)+7,?

f(5)=f(4)+9,?

……?

f(n)=f(n-1)+2n-1.?

∴f(n)=5+(5+7+9+…+2n-1)=n²+1.?

故滿足題意的n條拋物線將平面分成n²+1個(gè)部分.