Question

平面上有n(n≥2)條拋物線，其中每兩條都相交于兩點，并且每三條都不相交于同一點，試求這n條拋物線把平面分成多少個部分？

Answer 1

答案：
解析：

解：當(dāng)n＝2時，兩條相交拋物線把平面分成5部分，記f(2)＝5＝22＋1； 　　當(dāng)n＝3時，f(3)＝10＝32＋1； 　　當(dāng)n＝4時，f(4)＝17＝42＋1； 　　當(dāng)n＝5時，f(5)＝26＝52＋1； 　　歸納猜想：f(n)＝n2＋1(n≥2)． 　　設(shè)n條拋物線將平面分成f(n)個部分；有(n＋1)條拋物線時，由于第n＋1條拋物線與前n條拋物線共有2n個交點，這2n個交點將第n＋1條拋物線共分成2n＋1段，而每一段都把原來所在的部分分成了兩部分，從而增加了2n＋1個部分， 　　∴f(n＋1)＝f(n)＋2n＋1(n≥2)． 　　∴f(3)＝f(2)＋5， 　　f(4)＝f(3)＋7， 　　f(5)＝f(4)＋9， 　　…… 　　f(n)＝f(n－1)＋2n－1． 　　∴f(n)＝5＋(5＋7＋9＋…＋2n－1)＝n2＋1． 　　故滿足題意的n條拋物線將平面分成n2＋1個部分．