Question

已知函數(shù)f（x）=ax²+bx的圖象過點（-n，0），且在（0，f（0））處的切線的斜率為n，（n為正整數(shù)）
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）若數(shù)列{a_n}滿足：a1=

1

2

，

1

an+1

=f′(

1

an

)，令bn=

1

an

+n+1，求數(shù)列{b_n}的通項公式；
（III）對于（Ⅱ）中的數(shù)列{a_n}，令cn=

n

an

+n2，求數(shù)列{c_n}的前n項的和S_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）將點（-n，0）的坐標(biāo)代入函數(shù)f（x）=ax²+bx中，然后令f′（0）=n，便可求出函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）由前面求得的函數(shù)f（x）的解析式求出a_n與a_n+1的關(guān)系，然后便可求出b_n與b_n+1的關(guān)系，即可求得b_n的通項公式；
（III）由（Ⅱ）求得的an的表達(dá)式先求出cb的通項公式，然后即可求得數(shù)列{c_n}的前n項的和S_n．

解答：解：（I）由已知f（-n）=a（-n）²+b（-n）=0，
f′（0）=b=n
解得a=1，b=n，
所以f（x）=x²+nx（3分）；
（Ⅱ）由

1

an+1

=f′(

1

an

)可得

1

an+1

=2

1

an

+n，（4分）

1

an+1

+(n+2)=2(

1

an

+n+1)，
即b_n+1=2b_n
所以數(shù)列{b_n}是首項為

1

a1

+1+1=4，公比q=2的等比數(shù)列，（6分）
∴b_n=4•2^n-1=2ⁿ⁺¹（8分）；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知C_n=n•2ⁿ⁺¹-n（9分）
∵S_n=1•2²+2•2³+…+n•2ⁿ⁺¹-（1+2+3+…+n）
2S_n=1•2³+2•2⁴+…+（n-1）•2ⁿ⁺¹+n•2ⁿ⁺²-2（1+2+3+…+n）（10分）
∴-S_n=（2²+2³+…+2ⁿ⁺¹）-n•2ⁿ⁺²+（1+2+3+…+n）
=

22(1-2n)

1-2

-n•2ⁿ⁺²+

n(n+1)

2

，
∴S_n=（n-1）•2ⁿ⁺²+4-

n(n+1)

2

（12分）

點評：本題主要考查了數(shù)列的遞推公式和數(shù)列的求和以及數(shù)列與函數(shù)的綜合應(yīng)用，考查了學(xué)生的計算能力和對數(shù)列的綜合掌握，解題時注意整體思想和轉(zhuǎn)化思想的運用，屬于中檔題．