Question

已知函數(shù)，等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，數(shù)列的前n項(xiàng)為，且前n項(xiàng)和滿足．

（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式：

（2）若數(shù)列前n項(xiàng)和為，問使的最小正整數(shù)n是多少？

 

Answer 1

（1），；（2）252.

【解析】

試題分析：（1）由已知得當(dāng)時(shí)，，則等比數(shù)列的公比，又，解得，由等比數(shù)列通項(xiàng)公式可得所求數(shù)列的通項(xiàng)公式；由已知可先求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再求的通項(xiàng)公式，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111707033638915508/SYS201411170703416549468334_DA/SYS201411170703416549468334_DA.012.png">，且，所以是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，則，即，從而，又，故數(shù)列的通項(xiàng)公式為；（2）由數(shù)列的通項(xiàng)公式可采用裂項(xiàng)求和法先求出前項(xiàng)和，從而可得，故滿足條件的最小正整數(shù)是252.

（1）因?yàn)榈缺葦?shù)列的前項(xiàng)和為，

則當(dāng)時(shí)，.

因?yàn)槭堑缺葦?shù)列，所以的公比. 2分

，解得.. 4分

由題設(shè)知的首項(xiàng)，其前項(xiàng)和滿足，

由，且.

所以是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列. 6分

，.，又.

故數(shù)列的通項(xiàng)公式為. 8分

（2）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111707033638915508/SYS201411170703416549468334_DA/SYS201411170703416549468334_DA.002.png">，所以. 10分

. 12分

要使，則.所以.

故滿足條件的最小正整數(shù)是252. 14分

考點(diǎn)：1.數(shù)列通項(xiàng)公式；2.數(shù)列列前項(xiàng)和公式.