分析 (Ⅰ)設點P(x,y)曲線C上的任意一點,由題設有|PF|+1=y-(-2),化簡,即可求曲線C的方程;
(Ⅱ)①利用點差法,結(jié)合△AFB是等邊三角形,求實數(shù)m的值;
②設直線AB:y=kx+m,聯(lián)立$\left\{{\begin{array}{l}{{x^2}=4y}\\{y=kx+m}\end{array}}\right.$得x2-4kx-4m=0,利用$\overrightarrow{FA}•\overrightarrow{FB}<0$,即m2-6m+1<4k2,即可求實數(shù)m的取值范圍.
解答 解:(Ⅰ)設點P(x,y)曲線C上的任意一點,由題設有|PF|+1=y-(-2),
于是x2+(y-1)2=(y+1)2,整理得x2=4y.…(2分)
由于曲線C在x的上方,所以y>0.
所以曲線C的方程x2=4y(y>0).…(3分)
(Ⅱ)設A(x1,y1),B(x2,y2).
①由題意|AF|=|BF|,即${x_1}^2+{({{y_1}-1})^2}={x_2}^2+{({{y_2}-1})^2}$,
于是${x_1}^2-{x_2}^2+{({{y_1}-1})^2}-{({{y_2}-1})^2}=0$,
將$\left\{{\begin{array}{l}{{x_1}^2=4{y_1}}\\{{x_2}^2=4{y_2}}\end{array}}\right.$代入,得(y1-y2)(y1+y2+2)=0,由y1>0,y2>0,得y1=y2.
從而x1=-x2,
所以|AB|=|x1-x2|=2|x2|.
因為△AFB是等邊三角形,所以$2|{x_2}|=\sqrt{{x_2}^2+{{({{y_2}-1})}^2}}$.
將${x_2}^2=4{y_2}$代入,${y_2}^2-14{y_2}+1=0$,解得${y_2}=7±4\sqrt{3}$.此時$m=7±4\sqrt{3}$.…(8分)
(此題也可結(jié)合拋物線性質(zhì)求解,其它解法酌情給分)
②設直線AB:y=kx+m,
聯(lián)立$\left\{{\begin{array}{l}{{x^2}=4y}\\{y=kx+m}\end{array}}\right.$得x2-4kx-4m=0,△=16(k2+m)>0,x1+x2=4k,x1x2=-4m.y1+y2=k(x1+x2)+2m,${y_1}{y_2}=({k{x_1}+m})({k{x_2}+m})={k^2}{x_1}{x_2}+km({{x_1}+{x_2}})+{m^2}$
于是$\overrightarrow{FA}•\overrightarrow{FB}=({{x_1},{y_1}-1})({{x_2},{y_2}-1})={x_1}{x_2}+({{y_1}-1})({{y_2}-1})$=x1x2+y1y2-(y1+y2)+1=m2-6m+1-4k2.
因為$\overrightarrow{FA}•\overrightarrow{FB}<0$,即m2-6m+1<4k2.
因k∈R,從而m2-6m+1<0.
解得$3-2\sqrt{2}<m<3+2\sqrt{2}$.…(13分)
點評 本題考查軌跡方程,考查直線與拋物線的位置關(guān)系,考查向量知識的運用,考查韋達定理,屬于中檔題.
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A. | 0 | B. | 1 | C. | 2 | D. | 3 |
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A. | 充分不必要條件 | B. | 必要不充分條件 | ||
C. | 充要條件 | D. | 既不充分也不必要條件 |
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