Question

18．已知曲線C在x軸的上方，且曲線C上的任意一點到點F（0，1）的距離比到直線y=-2的距離都小1．
（Ⅰ）求曲線C的方程；
（Ⅱ）設(shè)m＞0，過點M（0，m）的直線與曲線C相交于A，B兩點．
①若△AFB是等邊三角形，求實數(shù)m的值；
②若$\overrightarrow{FA}•\overrightarrow{FB}＜0$，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)點P（x，y）曲線C上的任意一點，由題設(shè)有|PF|+1=y-（-2），化簡，即可求曲線C的方程；
（Ⅱ）①利用點差法，結(jié)合△AFB是等邊三角形，求實數(shù)m的值；
②設(shè)直線AB：y=kx+m，聯(lián)立$\left\{{\begin{array}{l}{{x^2}=4y}\\{y=kx+m}\end{array}}\right.$得x²-4kx-4m=0，利用$\overrightarrow{FA}•\overrightarrow{FB}＜0$，即m²-6m+1＜4k²，即可求實數(shù)m的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)點P（x，y）曲線C上的任意一點，由題設(shè)有|PF|+1=y-（-2），
于是x²+（y-1）²=（y+1）²，整理得x²=4y．…（2分）
由于曲線C在x的上方，所以y＞0．
所以曲線C的方程x²=4y（y＞0）．…（3分）
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
①由題意|AF|=|BF|，即${x_1}^2+{（{{y_1}-1}）^2}={x_2}^2+{（{{y_2}-1}）^2}$，
于是${x_1}^2-{x_2}^2+{（{{y_1}-1}）^2}-{（{{y_2}-1}）^2}=0$，
將$\left\{{\begin{array}{l}{{x_1}^2=4{y_1}}\\{{x_2}^2=4{y_2}}\end{array}}\right.$代入，得（y₁-y₂）（y₁+y₂+2）=0，由y₁＞0，y₂＞0，得y₁=y₂．
從而x₁=-x₂，
所以|AB|=|x₁-x₂|=2|x₂|．
因為△AFB是等邊三角形，所以$2|{x_2}|=\sqrt{{x_2}^2+{{（{{y_2}-1}）}^2}}$．
將${x_2}^2=4{y_2}$代入，${y_2}^2-14{y_2}+1=0$，解得${y_2}=7±4\sqrt{3}$．此時$m=7±4\sqrt{3}$．…（8分）
（此題也可結(jié)合拋物線性質(zhì)求解，其它解法酌情給分）
②設(shè)直線AB：y=kx+m，
聯(lián)立$\left\{{\begin{array}{l}{{x^2}=4y}\\{y=kx+m}\end{array}}\right.$得x²-4kx-4m=0，△=16（k²+m）＞0，x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4m．y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2m，${y_1}{y_2}=（{k{x_1}+m}）（{k{x_2}+m}）={k^2}{x_1}{x_2}+km（{{x_1}+{x_2}}）+{m^2}$
于是$\overrightarrow{FA}•\overrightarrow{FB}=（{{x_1}，{y_1}-1}）（{{x_2}，{y_2}-1}）={x_1}{x_2}+（{{y_1}-1}）（{{y_2}-1}）$=x₁x₂+y₁y₂-（y₁+y₂）+1=m²-6m+1-4k²．
因為$\overrightarrow{FA}•\overrightarrow{FB}＜0$，即m²-6m+1＜4k²．
因k∈R，從而m²-6m+1＜0．
解得$3-2\sqrt{2}＜m＜3+2\sqrt{2}$．…（13分）

點評 本題考查軌跡方程，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查向量知識的運用，考查韋達定理，屬于中檔題．