Question

6．已知等差數列{a_n}的前n項和S_n滿足：S₅=30，S₁₀=110，數列{b_n}的前n項和T_n滿足：${T_n}=\frac{3}{2}{b_n}-\frac{1}{2}（{n∈{N^*}}）$
（Ⅰ）求S_n與b_n；
（Ⅱ）比較S_nb_n與2T_na_n的大小，并說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由等差數列前n項和公式列出方程組求出首項與公差，由此能求出S_n與，利用作差法求出數列{b_n}的通項公式．
（Ⅱ）推導出S_nb_n=（n²+n）•3^n-1，2T_na_n=2n•（3ⁿ-1），由此利用作差法能比較S_nb_n與2T_na_n的大小．

解答 解：（I）設等差數列{a_n}的首項為a₁，公差為d，由已知可得：$\left\{\begin{array}{l}{5{a}_{1}+10d=30}\\{10{a}_{1}+45d=110}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=2}\\{d=2}\end{array}\right.$，
∴a_n=2+（n-1）×2=2n，S_n=$\frac{n（2+2n）}{2}$=n²+n．…（3分）
對數列{b_n}，由已知有b₂-2T₁=1，即b₂=2b₁+1=3，
∴b₂=3b₁，（*）
又由已知b_n+1-2T_n=1，可得b_n-2T_n-1=1（n≥2，n∈N*），
兩式相減得b_n+1-b_n-2（T_n-T_n-1）=0，即b_n+1-b_n-2b_n=0（n≥2，n∈N*），
整理得b_n+1=3b_n （n≥2，n∈N*），
結合（*）得$\frac{{{b_{n+1}}}}{b_n}=3$（常數），n∈N*，
∴數列{b_n}是以b₁=1為首項₁，3為公比的等比數列，
∴b_n=3^n-1．…（7分）
（II）2T_n=b_n+1-1=3ⁿ-1，
∴S_nb_n=（n²+n）•3^n-1，2T_na_n=2n•（3ⁿ-1），
于是S_nb_n-2T_na_n=（n²+n）•3^n-1-2n•（3ⁿ-1）=n[3^n-1（n-5）+2]，…（9分）
當n≤4（n∈N^*）時，S_nb_n-2T_na_n＜0，即S_nb_n＜2T_na_n；
當n≥5（n∈N^*）時，S_nb_n-2T_na_n＞0，即S_nb_n＞2T_na_n．
∴當n≤4（n∈N^*）時，S_nb_n＜2T_na_n；當n≥5（n∈N^*）時，S_nb_n＞2T_na_n．…（12分）

點評 本題考查數列的通項公式、前n項和公式的求法，考查兩個數的大小的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意作差法的合理運用．