Question

如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD是正方形，AB＝2EF＝2，EF∥AB，EF⊥FB，∠BFC＝90°，BF＝FC，H為BC的中點(diǎn)．

(1)求證：FH∥平面EDB；

(2)求證：AC⊥平面EDB；

(3)求四面體B－DEF的體積．

Answer 1

[解析]　(1)證明：設(shè)AC與BD交于點(diǎn)G，聯(lián)結(jié)EG、GH.

則G為AC中點(diǎn)，∵H是BC中點(diǎn)，

∴GH綊AB，又∵EF綊AB，

∴四邊形EFHG為平行四邊形．∴FH∥EG.

又EG⊂平面EDB，而FH⊄平面EDB，

∴FH∥平面EDB.

(2)證明：∵EF∥AB，EF⊥FB.∴AB⊥FB.

又四邊形ABCD為正方形，

∴AB⊥BC，又FB∩BC＝B，∴AB⊥平面BFC.

∵FH⊂平面BFC，∴AB⊥FH.

又∵FB＝FC，H是BC中點(diǎn)，∴FH⊥BC.

又AB∩BC＝B，∴FH⊥平面ABCD，∴FH⊥AC.

又EG∥FH，∴EG⊥AC，

又AC⊥BD，BD∩EG＝G，∴AC⊥平面EDB.

(3)∵EF⊥BF，BF⊥FC且EF∩FC＝F，

∴BF⊥平面CDEF，

即BF⊥平面DEF.

∴BF為四面體B—DEF的高．

又∵BC＝AB＝2，∴BF＝FC＝.

四邊形CDEF為直角梯形，且EF＝1，CD＝2.

∴S_△DEF＝(1＋2)×－×2×＝