已知數(shù)列{a
n}的各項均為正數(shù),其前n項和為S
n,點(diǎn)(a
n,S
n)在曲線(x+1)
2=4y上,
(1)求{a
n}通項公式.
(2)設(shè)數(shù)列{b
n}滿足
b1=3,bn+1=abn,求證:{b
n-1}為等比數(shù)列,并求{b
n}的通項.
(3)在(2)條件下,
cn=+,求數(shù)列{c
n}前n項和T
n.
分析:(1)由點(diǎn)(a
n,S
n)在曲線(x+1)
2=4y上,得(a
n+1)
2=S
n×4,n≥2時,(a
n-1+1)
2=S
n-1,兩式相減結(jié)合a
n>0可得a
n-a
n-1=2,由此能求出通項公式.
(2)由b
n+1=abn=2bn-1可得b
n+1-1=2(b
n-1),b
1=3,由此能夠證明{b
n-1}為等比數(shù)列,并能求出{b
n}的通項公式.
(3)由
bn=2n+1,知
cn=+=2+
,由此利用分組求和法能求出數(shù)列{c
n}前n項和.
解答:(1)解:∵點(diǎn)(a
n,S
n)在曲線(x+1)
2=4y上.
∴(a
n+1)
2=S
n×4.
當(dāng)n≥2時,(a
n-1+1)
2=S
n-1,
兩式相減可得S
n-S
n-1=(a
n+1)
2-(a
n-1+1)
2=a
n×4,
即(a
n-1)
2=(a
n-1+1)
2,
∴(a
n-a
n-1-2)(a
n+a
n-1)=0.
∵a
n>0,∴a
n-a
n-1=2,∵(a
1+1)
2=4S
1,∴a
1=1.
∴數(shù)列{a
n}是以1為首項,以2為公差的等差數(shù)列
∴a
n=1+2(n-1)=2n-1.
(2)證明:∵b
n+1=abn=2bn-1
∴b
n+1-1=2(b
n-1),即
=2,
∵b
1=3,∴b
1-1=2,
∴{b
n-1}為首項是2,公比是2的等比數(shù)列,
∴∴b
n-1=2•2
n-1=2
n,
∴b
n=2
n+1.
(3)解:∵
bn=2n+1,
∴
cn=+=
+=2+
,
∴數(shù)列{c
n}前n項和:
T
n=2n+(
+
+
+…+
)
=2n+
=2n+
-
.
點(diǎn)評:本題考查由數(shù)列的和與項的遞推公式求解數(shù)列的通項公式,等差數(shù)列通項公式的應(yīng)用,考查數(shù)列的前n項和的求法,解題時要認(rèn)真審題,注意迭代法、構(gòu)造法、裂項法和分組求和法的合理運(yùn)用.
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- A.
8
- B.
16
- C.
32
- D.
36
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